Cubo Somma e Cubo Differenza sono due tipi di prodotti notevoli, dove due termini vengono sommati o sottratti e poi cubettati, cioè con esponente uguale a 3.
(x + y) ³ -> somma cubo
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(x – y) ³ -> cubo di differenza
Il cubo somma può anche essere scritto come (x+y). (x+y). (x+y) e il cubo della differenza come (x-y). (x-y). (x - y).
Questi prodotti ricevono il nome di prodotti notevoli per l'importanza che hanno, poiché compaiono frequentemente nei calcoli algebrici.
Ora, ricorda che, in matematica, la stessa espressione può essere scritta in un altro modo, ma senza cambiarne il valore. Ad esempio, x + 1 + 1 può essere scritto semplicemente come x + 2.
Spesso, quando riscriviamo un'espressione, possiamo semplificare e risolvere molti problemi algebrici. Vediamo quindi un altro modo di scrivere il cubo della somma e il cubo della differenza, sviluppandoli algebricamente.
somma cubo
O somma cubo è il prodotto notevole (x + y) ³, che è lo stesso di (x + y). (x+y). (x+y). In questo modo possiamo scrivere:
(x + y) ³ = (x + y). (x+y). (x+y)
Ora, considerando che (x + y). (x + y) = (x + y)² = x² + 2xy + y², il cubo della somma può essere scritto come:
(x + y) ³ = (x + y). (x² + 2xy + y²)
Moltiplicazione del polinomio (x + y) per (x² + 2xy + y²), possiamo vedere che:
(x + y)³ = x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy² + y³
Sommando termini simili, abbiamo che il cubo della somma è dato da:
(x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
Esempio:
Sviluppa ogni cubo algebricamente:
a) (x + 5)²
(x + 5)² = (x) ³ + 3.(x) ².(5) + 3.(x).(5)² + (5)³
= x³ + 3.x².5 + 3.x.25 + 125
= x³ +15x² +75x + 125
b) (1 + 2b) ³
(1 + 2b) ³ = (1)³ + 3.(1)².(2b) + 3.(1).(2b) ² + (2b) ³
= 1 + 3.1.2b + 3.1.4b² + 8b³
= 1 + 6b + 12b² + 8b³
cubo differenza
O cubo differenza è il prodotto notevole (x – y) ³, che è lo stesso di (x – y). (x-y). (x-y). Quindi, dobbiamo:
(x – y) ³ = (x – y). (x-y). (x - y)
Come (x – y). (x – y) = (x – y)² = x² – 2xy + y², il cubo della differenza può essere scritto come:
(x – y) ³ = (x – y). (x² – 2xy + y²)
Moltiplicando (x – y) per (x² – 2xy + y²), possiamo vedere che:
(x – y)³ = x³ – 2x²y + xy² – x²y + 2xy² – y³
Sommando termini simili, abbiamo che il cubo della differenza è dato da:
(x – y)³ = x³ – 3x²y + 3xy² – y³
Esempio:
Sviluppa ogni cubo algebricamente:
a) (x – 2)³
(x – 2)³ = (x) ³ – 3.(x) ².(2) + 3.(x).(2)² – (2)³
= x³ – 3.x².2 + 3.x.4 – 8
= x³ – 6x² + 12x – 8
b) (2a – b) ³
(2a – b) ³ = (2a) ³ – 3.(2a) ².(b) + 3.(2a).(b²) – (b) ³
= 8a³ – 3.4a².b + 3.2a.b² – b³
= 8a³ – 12a²b + 6ab² – b³
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