I sistemi lineari sono costituiti da un insieme di equazioni lineari che hanno una relazione tra loro. Questa relazione, a sua volta, avviene attraverso l'insieme delle soluzioni di queste equazioni. Quando scriviamo due o più equazioni in un sistema lineare, stiamo dicendo che le soluzioni di tali equazioni devono essere uguali. I valori che assumeranno le incognite per validare una delle equazioni devono essere gli stessi per le altre, cioè tutte le equazioni di questo sistema lineare devono avere lo stesso insieme di soluzioni.
Pertanto, diciamo che l'insieme (a1, a2, a3, …, Ilno) è l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare, se questa è la soluzione di ciascuna delle equazioni del sistema lineare. Diamo un'occhiata a un esempio in modo da poter comprendere meglio l'intera teoria:
Abbiamo un sistema con due equazioni: nella prima equazione possiamo elencare diversi insiemi di soluzioni che soddisfare questa equazione, tuttavia dobbiamo trovare, tra questi insiemi, uno che soddisfi anche il secondo equazione. Analizziamo l'insieme delle soluzioni (6.4):
• Nell'equazione x + y = 10. S = {(6,4)}, ovvero x = 6 e y = 4.
6 + 4 = 10 (vera uguaglianza, questo insieme di soluzioni soddisfa la prima equazione)
• Nell'equazione 2x – y = 5 (x = 6 e y = 4)
Avremo: 2.6 - 4 = 5 -> 8 = 5 (Falso)
Questo insieme di soluzioni non soddisfa la seconda equazione, quindi non possiamo dire che questo insieme di soluzioni sia la soluzione del sistema lineare.
Consideriamo l'insieme delle soluzioni (5.5). In questo caso, entrambe le equazioni saranno soddisfatte con questo insieme, quindi questo è l'insieme delle soluzioni del sistema lineare (1).
Si noti però che, a seconda del sistema lineare, ottenere l'insieme delle soluzioni diventa complicato, semplicemente calcolando mentalmente le possibili soluzioni di ciascuna equazione. Tuttavia, esistono metodi aritmetici per risolvere un sistema lineare e molti sono già stati studiati nella scuola elementare. (Addizione, Sostituzione, Confronto)
Non sarà sempre possibile trovare un insieme di soluzioni che soddisfi effettivamente tutte le equazioni di un dato sistema. Di fronte a questa impasse, è sorta la necessità di analizzare le possibilità per ottenere la soluzione impostata e con questo ha permesso di elencare 3 possibilità per classificare un sistema lineare in base al suo insieme di soluzioni. Questo argomento è trattato nell'articolo. Classificazione di un sistema lineare.
di Gabriel Alessandro de Oliveira
Laureato in Matematica
Squadra scolastica brasiliana.
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistema-lineares.htm