Nel risolvere l'equazione di 2° grado x2 – 6x + 9 = 0, troviamo due radici uguali a 3. Usando il teorema di decomposizione, fattorizziamo il polinomio e otteniamo:
X2 – 6x + 9 = 0 = (x – 3)(x – 3) = (x – 3)2
In questo caso, diciamo che 3 è la radice della molteplicità 2 o radice doppia dell'equazione.
Quindi, se un polinomio fattorizzato risulta nella seguente espressione:
Possiamo dire che:
x = -5 è radice con molteplicità 3 o radice tripla dell'equazione p (x) = 0
x = -4 è radice con molteplicità 2 o radice doppia dell'equazione p (x) = 0
x = 2 è radice con molteplicità 1 o radice semplice dell'equazione p (x) = 0
In generale si dice che r è radice di molteplicità n, con n ≥ 1, dell'equazione p (x) = 0, se:
Nota che p(x) è divisibile per (x – r)m e che la condizione q(r) ≠ 0 significa che r non è una radice di q(x) e garantisce che la molteplicità della radice r non sia maggiore di m.
Esempio 1. Risolvi l'equazione x4 – 9x3 + 23x2 – 3x – 36 = 0, dato che 3 è una radice doppia.
Soluzione: Considera p(x) come il polinomio dato. Così:
Nota che q(x) si ottiene dividendo p(x) per (x – 3)2.
Dividendo per il pratico dispositivo di Briot-Ruffini si ottiene:
Dopo aver eseguito la divisione, vediamo che i coefficienti del polinomio q(x) sono 1, -3 e -4. Quindi, q (x) = 0 sarà: x2 – 3x – 4 = 0
Risolviamo l'equazione sopra per determinare le altre radici.
X2 – 3x – 4 = 0
Δ = (-3)2 - 4*1*(-4)
Δ = 25
x = -1 oppure x = 4
Pertanto, S = {-1, 3, 4}
Esempio 2. Scrivi un'equazione algebrica di grado minimo tale che 2 sia una radice doppia e – 1 sia una radice singola.
Soluzione: dobbiamo:
(x – 2)(x – 2 )(x – (-1)) = 0
O
di Marcelo Rigonatto
Specialista in Statistica e Modellistica Matematica
Squadra scolastica brasiliana
polinomi - Matematica - Brasile Scuola
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplicidade-uma-raiz.htm