Sappiamo come progressioni casi particolari di sequenze numeriche. Ci sono due casi di progressione:
progressione aritmetica
progressione geometrica
Per essere una progressione, dobbiamo analizzare le caratteristiche della sequenza per vedere se c'è quella che chiamiamo una ragione. quando la progressione è aritmetica, la ragione non è altro che una costante che aggiungiamo a un termine per trovare il suo successore nella sequenza; ora, quando si lavora con una progressione geometrico, la ragione ha una funzione simile, solo che in questo caso la ragione è il termine costante per cui moltiplichiamo un termine nella sequenza per trovarne il successore.
A causa di comportamento prevedibile di una progressione, esistono formule specifiche per trovare qualsiasi termine in queste sequenze, ed è anche possibile sviluppare a formula per ciascuno di essi (cioè una per la progressione aritmetica e una per la progressione geometrica) per calcolare la somma A partire dalno primi termini di questa progressione.
Leggi anche: Funzioni: cosa sono e a cosa servono?
sequenza numerica
Per capire cosa sono le progressioni, dobbiamo prima capire cosa sono sequenze numeriche. Come suggerisce il nome, conosciamo la sequenza numerica a insieme di numeri che rispettano un ordine, ben definiti o meno. non mi piace il imposta numerici dove l'ordine non ha importanza, in una sequenza numerica, l'ordine è essenziale, ad esempio:
La sequenza (1, 2, 3, 4, 5) è diversa da (5, 4, 3, 2, 1), che è diversa dalla sequenza (1, 5, 4, 3, 2). Anche se gli elementi sono gli stessi, come l'ordine è diverso, quindi abbiamo sequenze diverse.
Esempi:
Possiamo scrivere sequenze le cui formazioni sono facili da vedere:
a) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → sequenza di numeri pari minori o uguali a 12.
b) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) → sequenza regressiva di numeri dispari da 17 a 5.
c) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 …) → detto Sequenza di Fibonacci.
d) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 …) → sebbene non sia possibile descrivere questa sequenza come le altre, è facile prevedere quali saranno i suoi prossimi termini.
In altri casi, le sequenze possono avere totale casualità nei loro valori, comunque, per essere una sequenza, ciò che conta è avere un insieme di valori ordinati.
a 1; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)
b) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2...)
Per quanto non sia possibile prevedere chi siano i prossimi termini della lettera b, stiamo ancora lavorando a un seguito.
Generalmente, le stringhe sono sempre rappresentate tra parentesi ( ), nel seguente modo:
(Il1, a2,Il3, a4,Il5, a6, a7, a8 …) → sequenza infinita
(Il1, a2,Il3, a4,Il5, a6, a7, a8 … ano) → successione finita
In entrambi abbiamo la seguente rappresentazione:
Il1 → primo termine
Il2 → secondo termine
Il3 → terzo termine
.
.
.
Ilno → ennesimo termine
Osservazione: È di grande importanza che, quando si rappresenta una sequenza, i dati siano racchiusi tra parentesi. La notazione della sequenza viene spesso confusa con la notazione dell'insieme. Un insieme è rappresentato tra parentesi graffe e nell'insieme l'ordine non è importante, il che in questo caso fa la differenza.
(1, 2, 3, 4, 5) → sequenza
{1, 2, 3, 4, 5} → imposta
Ci sono casi particolari di sequenza che sono noti come progressioni.
Vedi anche: Qual è il principio fondamentale del conteggio?
Cosa sono le progressioni?
Una sequenza è definita come una progressione quando ha a regolarità da un termine all'altro, noto come ragione. Ci sono due casi di progressione, progressione aritmetica e progressione geometrica. Per sapere come differenziare ciascuno di essi, dobbiamo capire qual è il motivo di una progressione e come tale motivo interagisce con i termini della sequenza.
Quando, da un termine all'altro della sequenza, ho un somma costante, questa sequenza è definita come una progressione, e in questo caso è a progressione aritmetica. Questo valore che aggiungiamo costantemente è noto come rapporto. L'altro caso, cioè, quando la sequenza è a progressione geometrica, da un termine all'altro c'è a moltiplicazione per un valore costante. Analogamente, questo valore è il rapporto della progressione geometrica.
Esempi:
a) (1, 4, 7, 10, 13, 16 …) → notiamo che da un termine all'altro aggiungiamo sempre 3, quindi abbiamo una progressione aritmetica di rapporto pari a 3.
b) (1, 10, 100, 1000, 10000 …) → in questo caso stiamo sempre moltiplicando per 10 da un termine all'altro, trattandosi di una progressione geometrica di rapporto 10.
c) (0, 2, 8, 26 …) → in quest'ultimo caso vi è una sola sequenza. Per trovare il termine successivo, moltiplichiamo il termine per 3 e aggiungiamo 2. Questo caso, anche se c'è una regolarità per trovare i termini successivi, è solo una sequenza, non una progressione aritmetica o geometrica.
progressione aritmetica
Quando lavoriamo con sequenze numeriche, quelle sequenze in cui possiamo prevedere i loro prossimi termini sono abbastanza ricorrenti. Affinché questa sequenza sia classificata come a progressione aritmetica, ci deve essere un Motivo un. Dal primo termine, il prossimo termine è costruito dalla somma del termine precedente con la ragione r.
Esempi:
a) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25...)
Questa è una sequenza che può essere classificata come progressione aritmetica, perché la ragione r = 3 e il primo termine è 4.
b) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23 …)
Questa sequenza è una progressione aritmetica con buone ragioni. r = -5, e il suo primo termine è 7.
Termini di un PA
In molti casi, il nostro interesse è trovare un termine specifico nella progressione, senza dover scrivere l'intera sequenza. Conoscendo il valore del primo termine e il rapporto, è possibile trovare il valore di qualsiasi termine in una progressione aritmetica. Per trovare i termini di una progressione arimetica, usiamo la formula:
Ilno = il1+ (n - 1)r
Esempio:
Trova il 25° termine di un P.A il cui rapporto è 3 e il primo termine è 12.
Dati r = 3, il1 = 12. Vogliamo trovare il 25° termine, cioè n = 25.
Ilno = il1+ (n - 1)r
Il25 = 12 + (25 - 1) · 3
Il25 = 12 + 24 · 3
Il25 = 12 + 72
Il25 = 84
Durata generale di una P.A.
La formula generale del termine è a modo per semplificare la formula di un termine AP per trovare più rapidamente qualsiasi termine di progressione. Noti il primo termine e il motivo, basta sostituire nella formula un termine di una P.A., per trovare il termine generale della progressione aritmetica, che dipende solo dal valore di no.
Esempio:
Trova il termine generale di una P.A. che ha r = 3 e il1 = 2.
Ilno = 2 + (n -1) r
Ilno = 2 + (n -1) 3
Ilno = 2 + 3n – 3
Ilno = 2n - 1
Questo è il termine generale di una P.A., che serve a trovare qualsiasi termine in questa progressione.
Somma dei termini di un PA
IL somma dei termini di un PA sarebbe piuttosto laborioso se fosse necessario trovare ciascuno dei suoi termini e sommarli. C'è una formula per calcolare la somma di tutti no primi termini di una progressione aritmetica:
Esempio:
Trova la somma di tutti i numeri dispari da 1 a 100.
Sappiamo che i numeri dispari sono una progressione aritmetica del rapporto 2: (1, 3, 5, 7…99). In questa progressione ci sono 50 termini, poiché, da 1 a 100, metà dei numeri sono pari e l'altra metà è dispari.
Pertanto, dobbiamo:
n = 50
Il1 = 1
Ilno = 99
Accedi anche a: Funzione di 1° grado - uso pratico della progressione aritmetica
progressione geometrica
Una stringa può anche essere classificata come primaogressione geometrico (PG). Affinché una sequenza sia una progressione geometrica, deve avere una ragione, ma in questo caso, per trovare il termine successivo al primo termine, eseguiamo il moltiplicazione del rapporto per il termine precedente.
Esempi:
a) (3, 6, 12, 24, 48 …) → Progressione geometrica del rapporto 2, e il suo primo termine è 3.
b) (20, 200, 2000, 20 000 …) → Progressione geometrica del rapporto 10, e il suo primo termine è 20.
Durata di un PG
In una progressione geometrica, rappresentiamo il motivo della lettera che cosa. Il termine di una progressione geometrica si trova con la formula:
Ilno = il1 · che cosan - 1
Esempio:
Trova il decimo termine di un PG, sapendo che che cosa = 2 e il1 = 5.
Ilno = il1 · che cosan - 1
Il10 = 5 · 210 - 1
Il10 = 5 · 29
Il10 = 5 · 512
Il10 = 2560
Termine generale di un PG
Quando conosciamo il primo termine e la ragione, è possibile generare la formula del termine generale da una progressione geometrica che dipende esclusivamente dal valore di no. Per fare ciò, dobbiamo solo sostituire il primo termine e il rapporto e troveremo un'equazione che dipende solo dal valore di no.
Usando l'esempio precedente, dove il rapporto è 2 e il primo termine è 5, il termine generale per questo GP è:
Ilno = il1 · che cosan - 1
Ilno = 5 · 2n - 1
Somma dei termini di un PG
Aggiungere tutti i termini di una progressione richiederebbe molto lavoro. In molti casi, scrivere l'intera sequenza per ottenere questa somma richiede molto tempo. Per facilitare questo calcolo, la progressione geometrica ha una formula che serve per calcolare il somma di no primi elementi di un PG. finito:
Esempio:
Trova la somma dei primi 10 termini del GP (1, 2, 4, 8, 16, 32 …).
Notare che il rapporto di questo PG è uguale a 2.
Il1 = 1
che cosa = 2
no = 10
Leggi anche: Funzione esponenziale - uso pratico della progressione geometrica
Esercizi risolti
Domanda 1 - Da alcuni giorni gli scienziati stanno osservando una particolare coltura di batteri. Uno di loro sta analizzando la crescita di questa popolazione e ha notato che, il primo giorno, c'erano 100 batteri; nel secondo, 300 batteri; nel terzo, 900 batteri e così via. Analizzando questa sequenza possiamo dire che è:
A) una progressione aritmetica del rapporto 200.
B) una progressione geometrica di rapporto 200.
C) una progressione arimetica della ragione 3.
D) una progressione geometrica di rapporto 3.
E) una sequenza, ma non una progressione.
Risoluzione
Alternativa D.
Analizzando la sequenza, abbiamo i termini:
Nota che 900/300 = 3, così come 300/100 = 3. Pertanto, stiamo lavorando con un PG di rapporto 3, poiché stiamo moltiplicando per tre dal primo termine.
Domanda 2 - (Enem – PPL) Per un principiante nella corsa è stato stabilito il seguente piano di allenamento giornaliero: correre 300 metri il primo giorno e aumentare di 200 metri al giorno il secondo. Per contare le sue prestazioni utilizzerà un chip, attaccato alla sua scarpa da ginnastica, per misurare la distanza percorsa in allenamento. Considera che questo chip memorizza, nella sua memoria, un massimo di 9,5 km di corsa/camminata, e va posizionato all'inizio dell'allenamento e scartato dopo aver esaurito lo spazio per la riserva dati. Se questo atleta utilizza il chip dal primo giorno di allenamento, per quanti giorni consecutivi questo chip sarà in grado di memorizzare il chilometraggio di quel piano di allenamento giornaliero?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 12
E) 13
Risoluzione
Alternativa B.
Analizzando la situazione, sappiamo che abbiamo un PA con un motivo di 200 e un finale iniziale pari a 300.
Inoltre, sappiamo che la somma Sno = 9,5 km = 9500 metri.
Con questi dati, troviamo il termine ano, ovvero il numero di chilometri registrati l'ultimo giorno di conservazione.
Vale anche la pena ricordare che qualsiasi termine ano può essere scritto come:
Ilno = il1 + (n-1)r
Data l'equazione 200n² + 400n – 19000 = 0, possiamo dividere tutti i termini per 200, semplificando l'equazione e trovando: n² + 2n – 95 = 0.
Per delta e Bhaskara, dobbiamo:
a = 1
b = 2
c = -95
= b² - 4ac
Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)
Δ = 4 – 4 · (-95)
Δ = 4 + 380
Δ = 384
Sappiamo che 8,75 corrisponde a 8 giorni e poche ore. In questo caso il numero di giorni in cui è possibile effettuare la misurazione è 8.
Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm
