Sistema di equazioni di 1° e 2° grado

I sistemi di equazioni non sono altro che strategie che ci permettono risolvere problemi e situazioni che coinvolgono più di una variabile e almeno due equazioni. Se le equazioni presenti nel sistema coinvolgono solo il addizione e il sottrazione delle incognite, diciamo che è un Sistema di equazioni di 1° grado. Possiamo risolvere questo sistema in due modi, attraverso il rappresentazione grafica o algebricamente. In forma algebrica, abbiamo due alternative, il metodo di addizione o da sostituzione.

Nel caso di a moltiplicazione tra le incognite o, semplicemente, che una di esse appaia come potenza esponente 2, diciamo che il sistema prevede anche equazioni di 2° grado. Per risolvere un sistema del genere, le strategie sono le stesse di cui sopra, ma in questo caso potrebbero esserci più soluzioni.

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi di risoluzione di sistemi di equazioni di 1° e 2° grado:

1° Esempio:

Si noti che, in questo esempio, l'equazione x·y = 15 fornisce un prodotto tra le incognite

X e sì, quindi questa è un'equazione di 2° grado. Per risolverlo, usiamo il metodo di sostituzione. Nella seconda equazione, isoliamo X:

2x – 4a = – 14
2x = 4a - 14
x = 4a – 14
2
x = 2y - 7

Ora sostituiremo x = 2y - 7 nella prima equazione:

x·y = 15
(2y – 7)·y = 15
2a² - 7a - 15 = 0

Per trovare i possibili valori per si, useremo la formula di Bhaskara:

Δ = b² - 4.a.c
Δ = (– 7)² – 4.2.(– 15)
Δ = 49 + 120
Δ = 169

y = – b ± √Δ​
2°

y = – (– 7) ± √169
2.2

y = 7 ± 13
4

sì1 = 7 + 13 4 sì1 = 20 4 sì1 = 5

sì2 = 7 – 13 4 sì2 = – 6 4 sì2 = – 3 2

Ora possiamo sostituire i valori trovati per sì nel x·y = 15 per determinare i valori di X:

X1 · si1 = 15 X1 · 5 = 15 X1 = 15 5 X1 = 3

X2 · si2 = 15 X2 · (– 3) = 15 2  X2 = 15. (– 2) 3 X2 = – 10

Possiamo dire che l'equazione ha due soluzioni del tipo (x, y), sono loro: (3, 5) e (– 10, ^{– 3}/₂).

2° Esempio:

Per risolvere questo sistema, useremo il metodo di addizione. Per farlo, moltiplichiamo la prima equazione per – 2. Il nostro sistema sarà simile a questo:

(– 2x² + 2x²) + (– 4y² – 3y²) = (– 178 + 150)
0x² – 7y² = – 28
7y² = 28
y² = 28
7
y = ±√4
sì₁ = + 2
sì₂ = – 2

Ora possiamo sostituire i valori trovati per sì nella prima equazione per ottenere i valori di X:

x² + 2y1² = 89 x² + 2.(2)² = 89 x² + 8 = 89 x² = 81 x = ±√81 X1 = + 9 X2 = – 9

x² + 2y2² = 89 x² + 2.(– 2)² = 89 x² + 8 = 89 x² = 81 x = ±√81 X3 = + 9 ​X4 = – 9

Possiamo dire che l'equazione ha quattro soluzioni: (9, 2), (– 9, 2), ( 9, – 2) e (– 9, – 2).

3° Esempio:

Nel risolvere questo sistema di equazioni, useremo il metodo di sostituzione. Nella seconda equazione, isoliamo X:

2x - 3y = 2
2x = 3y + 2
x = 3a + 2
2
x = 3 anni + 1
2

sostituiremo X nella prima equazione:

x² + 2y² = 1
(^{3 anni}/₂ + 1)² + 2y² = 1
9y² + 3 anni + 1 + 2 anni² = 1
4

Moltiplichiamo l'intera equazione per 4:

9y² + 12 anni + 4 + 8y² = 4
17 anni² + 12 anni = 0

Per trovare i possibili valori per si, usiamo la formula di Bhaskara:

Δ = b² - 4.a.c
Δ = 12² – 4.17. 0
Δ = 144
y = – b ± √Δ​
2°
y = – 12 ± √144
2.17
y = – 12 ± 12
34

sì1 = – 12 + 12 34 sì1 = 0 34 sì1 = 0

sì2 = – 12 – 12 34 sì2 = – 24 34 sì2 = – 12 17

Sostituzione dei valori trovati per sì nel 2x - 3y = 2, possiamo determinare i valori di X:

2x - 3 anni1 = 2 2x – 3,0 = 2 2x - 0 = 2 x = 2 2 X1 = 1

2x - 3 anni2 = 2 2x - 3·(^– 12/17)= 2 2x + 36 = 2  17 2x = 2 – 36 17 2x = - 2 17 X2 = – 1 17

Possiamo dire che l'equazione ha due soluzioni del tipo (x, y), sono loro: (1, 0) e (^{– 1}/₁₇, ^{– 12}/₁₇).

di Amanda Gonçalves
Laureato in Matematica

Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistema-equacoes-1-o-2-o-grau.htm