voi numeri complessi nascono dalla necessità di risolvere equazioni che ha radice numerica negativa, che, fino ad allora, non era possibile risolvere lavorando con numeri reali. I numeri complessi possono essere rappresentati in tre modi: a forma algebrica (z = a + bi), composto da una parte reale Il e una parte immaginaria B; Il Forma geometrica, rappresentato nel piano complesso noto anche come piano di Argand-Gauss; E i tuoi forma trigonometrica, nota anche come forma polare. In base alla loro rappresentazione, poiché stiamo lavorando con un insieme numerico, i numeri complessi hanno operazioni ben definite: addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione e potenziamento.
Attraverso la rappresentazione geometrica nel piano complesso, definiamo anche il modulo (rappresentato da |z|) di un numero complesso — che è la distanza dal punto che rappresenta il numero complesso all'origine — e qual è l'argomento di un numero complesso — che è l'angolo formato tra l'asse orizzontale e la traccia che collega l'origine al punto che rappresenta il numero complesso.
bisogno di numeri complessi
In matematica, l'espansione di un insieme numerico a un nuovo insieme, nel corso della storia, era qualcosa di abbastanza comune. Si scopre che, nel corso di esso, la matematica si è sviluppata, e quindi, a soddisfare le esigenze del tempo, si è notato che c'erano numeri che non appartenevano all'insieme numerico a cui si riferiva. Così è stato con l'emergere di insiemi numerici interi, razionali, irrazionali e reali, e non era diverso quando c'era la necessità di espandere l'insieme dei numeri reali a quello dei numeri complessi.
Quando proviamo a risolvere equazioni quadratiche, è abbastanza comune che troviamo il radice quadrata di un numero negativo, che è impossibile da risolvere nell'insieme dei numeri reali, da qui la necessità di numeri complessi. L'inizio dello studio di questi numeri ha ricevuto contributi da importanti matematici, come Giralmo Cardono, ma il loro insieme è stato formalizzato da Gauss e Argand.
Leggi anche: Rappresentazione geometrica della somma di numeri complessi
forma algebrica di un numero complesso
Quando si cercava di risolvere un'equazione quadratica come x² = –25, si diceva spesso che fosse irrisolvibile. Tuttavia, nel tentativo di algebrizzare, il rappresentazione algebrica, che permette di eseguire operazioni con questi numeri, anche se non puoi calcolare la radice quadrata di un numero negativo.
Per facilitare la risoluzione delle situazioni in cui si lavora con il radice quadrata di un numero negativo, il unità immaginaria.
Quindi, analizzando l'equazione presentata x² = -25, abbiamo che:
Quindi, le soluzioni per l'equazione sono -5io e5io.
Per definire la forma algebrica, il lettera io, conosciuto come unità immaginaria di un numero complesso. Un numero complesso è rappresentato da:
z = Il + Bio
Su cosa Il e B sono numeri reali.
Il: parte reale, indicata con a = Re (z);
B: parte immaginaria, indicata con Im(z);
io: unità immaginaria.
Esempi
Il) 2 + 3io
B) -1 + 4io
ç) 5 – 0,2io
d) -1 – 3io
quando il la parte reale è nulla, il numero è noto come puro immaginario, ad esempio, -5io e 5io sono puri immaginari perché non hanno una parte reale.
Quando la parte immaginaria è nulla, anche il numero complesso è un numero reale.
Operazioni con numeri complessi
Come ogni insieme numerico, le operazioni devono essere ben definito, quindi, è possibile eseguire le quattro operazioni fondamentali dei numeri complessi tenendo conto della forma algebrica presentata.
Addizione di due numeri complessi
Per effettuare il addizione di due numeri complessi z1 ez2, aggiungeremo la parte reale di z1 ez2 e la somma della parte immaginaria, rispettivamente.
Essere:
z1 = a + bio
z2 = c + dio
z1 +z2 = (a + c) + (b + d)io
Esempio 1
Realizzazione della somma di z1 e z2.
z1 = 2 + 3io
z2 = 1 + 2io
z1 +z2= (2 + 1) + (3 + 2)io
z1 +z2= 3 + 5io
Esempio 2
Realizzazione della somma di z1 e z2.
z1 = 5 – 2io
z2 = – 3 + 2io
z1+z2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)io
z1+z2 = (5 – 3) + 0io
z1 +z2= 3 + 0io = 3
Vedi anche: Rappresentazione geometrica della somma di numeri complessi
Sottrazione di due numeri complessi
Prima di parlare di sottrazione, dobbiamo definire qual è il inverso di un numero complesso, cioè z = a + bio. L'inverso di z, rappresentato da –z, è il numero complesso –z = –a –bio.
Per eseguire la sottrazione tra z1e -z2, così come inoltre, faremo il sottrazione tra parti reali e tra parti immaginarie separatamente, ma è necessario capire che -z2 è l'inverso di un numero complesso, il che rende necessario il gioco dei segni.
Esempio 1
Esecuzione della sottrazione di z1 e z2.
z1 = 2 + 3io
z2 = 1 + 2io
z1–z2 = (2 – 1) + (3 – 2)io
z1–z2= 1 + 1io = 1+ io
Esempio 2
Esecuzione della sottrazione di z1 e z2.
z1= 5 – 2io
z2 = – 3 + 2io
z1–z2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)io
z1–z2= (5 + 3) + (–4)io
z1 –z2= 8 + (–4)io
z1 –z2= 8 –4io
Poteri delle unità immaginarie
Prima di parlare di moltiplicazione, dobbiamo capire il potere dell'unità immaginaria. Alla ricerca di un metodo per calcolare le potenze di iono, è necessario rendersi conto che questi poteri si comportano in modo ciclico. Per questo, calcoliamo un po' potenze nel io.
Si scopre che i prossimi poteri non sono altro che la sua ripetizione, nota che:
io 4 = io 2 · io 2 = (–1) (–1) = 1
io 5 = io 2 · io 3 = (–1) (–io) = io
Continuando a calcolare le potenze, le risposte saranno sempre elementi dell'insieme {1,i,–1,–io}, quindi per trovare una potenza dell'unità iono, divideremo n (l'esponente) per 4, e il riposodi questa divisione (r = { 0, 1, 2, 3}) sarà il nuovo esponente di io.
Esempio1
Calcolo di i25
Quando dividiamo 25 per 4, il quoziente sarà 6 e il resto sarà uguale a 1. Quindi dobbiamo:
io 25 = io1 = io
Esempio 2
Calcolo di io 403
Quando dividiamo 403 per 4, il quoziente sarà 100, perché 100 · 4 = 400, e il resto sarà 3, quindi dobbiamo:
io 403 =io 3 = -io
Moltiplicazione di numeri complessi
Per eseguire la moltiplicazione di due numeri complessi, applichiamo il proprietà distributiva. Essere:
z1= a + bio
z2= c + dio, quindi il prodotto:
z1 · z2 = (a + bio) (c + dio), applicando la proprietà distributiva,
z1 · z2 = ac + adio + cbio + bdio 2, ma come abbiamo visto, io ² = -1
z1 · z2 = ac + adio + cbio - bd
z1 · z2= (ac – bd) + (annuncio + cb)io
Usando questa formula, è possibile trovare il prodotto di due numeri complessi qualsiasi, ma in a In generale non ha bisogno di essere decorato, poiché, per il calcolo in questione, applichiamo solo la proprietà distributivo.
Esempio
Calcolo del prodotto di (2+3io) (1 – 4io):
(2+3io) (1 – 4io) = 2 – 8io + 3io– 12io ², ricordando che io² = -1:
(2 + 3io) (1 – 4io) = 2 – 8io + 3io+ 12
(2 + 3io) (1 – 4io) = (2 + 12) + (– 8 + 3)io
(2+3io) (1 – 4io) = 14 – 5io
Accedi anche a: Addizione, sottrazione e moltiplicazione di numeri complessi
Numero complesso coniugato number
Prima di parlare di divisione, dobbiamo capire qual è il coniugato di un numero complesso. Il concetto è semplice, per trovare il coniugato di un numero complesso, basta scambiarepiù il segno della parte immaginaria.
divisione di due numeri complessi
Per effettuare il divisione di due numeri complessi, dobbiamo moltiplicare la frazione per il coniugato del denominatore in modo che sia ben definita quale sia la parte reale e quale sia la parte immaginaria.
Esempio
Calcolo della divisione di (6 - 4io): (4 + 2io)
Vedi anche: Opposto, coniugato e uguaglianza di numeri complessi
Piano complesso o piano di Argand-Gauss
Conosciuto come piano complesso o Un pianorgan-Gauss, permette il rappresentazione in forma geometrica di un numero complesso, questo piano è un adattamento nella piano cartesiano rappresentare numeri complessi. L'asse orizzontale è noto come asse della parte reale Re(z), e l'asse verticale è noto come asse della parte immaginaria Im (z). Quindi il numero complesso rappresentato da a + bio genera i punti nel piano complesso formato dalla coppia ordinata (a, b).
Esempio
Rappresentazione del numero 3 + 2io nella forma geometrica Z(3,2).
Modulo e argomento di un numero complesso
Il modulo di un numero complesso, geometricamente, è il distanza dal punto (a, b) che rappresenta questo numero nel piano complesso all'origine, ovvero il punto (0,0).
Come possiamo vedere, |z| è l'ipotenusa di triangolo rettangolo, quindi, può essere calcolato applicando il teorema di Pitagora, quindi dobbiamo:
Esempio:
Calcolo del modulo di z = 1 + 3io
oh Ildiscussione di un numero complesso, geometricamente, è il angolo formato dall'asse orizzontale e dalla |z|
Per trovare il valore dell'angolo, dobbiamo:
L'obiettivo è trovare l'angolo θ = arg z.
Esempio:
Trova l'argomento del numero complesso: z = 2 + 2io:
Poiché aeb sono positivi, sappiamo che questo angolo è nel primo quadrante, quindi calcoliamo |z|.
Conoscendo il |z|, è possibile calcolare il seno e il coseno.
Poiché, in questo caso, aeb sono uguali a 2, allora, quando calcoliamo sin will, troveremo la stessa soluzione per il coseno.
Conoscere i valori di sinθ e cosθ, consultando la tabella degli angoli notevoli e sapendo che appartiene al primo quadrante, quindi θ si trova in gradi o radianti, quindi concludiamo che cosa:
Forma trigonometrica o polare
La rappresentazione del numero complesso nella forma trigonometrica è possibile solo dopo aver compreso il concetto di modulo e argomento. Sulla base di questa rappresentazione, vengono sviluppati concetti importanti per lo studio dei numeri complessi a un livello più avanzato. Per eseguire la rappresentazione trigonometrica, ricorderemo la sua forma algebrica z = a + bi, tuttavia, analizzando il piano complesso, dobbiamo:
Sostituendo, in forma algebrica, i valori di a = |z| cos e b = |z| sen θ, dobbiamo:
z = a + bio
Con z = |z| cos + |z| senθ io, mettendo |z| in evidenza, si arriva alla formula della forma trigonometrica:
z= |z|(cos θ + io · peccato ) |
Esempio: Scrivi, in forma trigonometrica, il numero
Per scrivere in forma trigonometrica, abbiamo bisogno dell'argomento e del modulo di z.
1° passo – Calcolo di |z|
Conoscendo la |z|, è possibile trovare il valore di consultando la tabella degli angoli notevoli.
Ora è possibile scrivere il numero z nella sua forma trigonometrica con l'angolo in gradi o con l'angolo misurato in radianti.
Leggi anche: Radiazione di numeri complessi in forma trigonometrica
Esercizi risolti
Domanda 1 - (UFRGS) Dati i numeri complessi z1 = (2,–1) e z2 = (3, x), è noto che il prodotto tra z1 e z2 è un numero reale. Quindi x è uguale a:
a) -6
b) -3/2
c) 0
d) 3/2
e) 6
Risoluzione
Alternativa D.
Affinché il prodotto sia un numero reale, la parte immaginaria è uguale a zero.
Scrivendo questi numeri in forma algebrica, dobbiamo:
z1 = 2 – 1io e z2 = 3 + xio
z1 · z2 = (2 – 1io) (3 + xio)
z1 · z2 = 6 + 2xio –3io - Xio ²
z1 · z2 = 6 + 2xio –3io + X
z1 · z2 = 6+ x + (2x – 3)io
Poiché il nostro interesse è che la parte immaginaria sia uguale a zero, allora risolveremo per 2x – 3 = 0
Domanda 2 - (UECE) Se i è il numero complesso il cui quadrato è uguale a -1, allora il valore di 5io 227 + io 6 – io 13 è lo stesso di:
Il) io + 1
b) 4io –1
c) -6io –1
d) -6io
Risoluzione
Alternativa C.
Per risolvere questa espressione, è necessario trovare il resto di ciascuno dei numeri in divisione per 4.
227: 4 risulta in un quoziente di 56 e un resto di 3.
io 227 = io 3 = –io
6: 4 risulta quoziente 1 e resto 2.
io 6 = io 2 = –1
13: 4 risulta quoziente 3 e resto 1.
io 13 = io1 = io
Quindi dobbiamo:
5io 227 + io 6 – io 13
5 (–io) + (–1) – io
–5io –1 – io
–6io – 1
Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm
