Tra i modi per trovare il valore numerico di x, un processo noto anche come trova le radici di un'equazione o trova la soluzione di un'equazione, spicca: Formula Bhaskara è il processo di completamento dei quadrati. Quest'ultimo è al centro del testo di oggi.
Il numero di soluzioni di un'equazione è dato dal suo grado. Pertanto, le equazioni di primo grado hanno una sola soluzione, le equazioni di terzo grado hanno tre soluzioni e le equazioni quadratiche hanno due soluzioni, chiamate anche radici..
Le equazioni di secondo grado, nella loro forma ridotta, possono essere scritte come segue:
ascia2 + bx + c = 0
metodo di completamento quadrato
In tal caso l'equazione quadratica è un trinomio quadrato perfetto
Le equazioni di secondo grado risultanti da un prodotto notevole sono note come trinomio quadrato perfetto. Per trovare le sue radici, useremo il metodo esemplificato di seguito:
Esempio: Calcola le radici dell'equazione x2 + 6x + 9 = 0.
Notare che il coefficiente b è 6 = 2·3. Per scriverlo sotto forma di prodotto notevole, basta controllare se c = 3
2, il che è vero, poiché 32 = 9 = c. In questo modo possiamo scrivere:X2 + 6x + 9 = (x + 3)2 = 0
Nota che un prodotto notevole è il prodotto tra due polinomi uguali. Nel caso di questa equazione avremo:
(x + 3)2 = (x + 3)(x + 3) = 0
Un prodotto è uguale a zero solo quando uno dei suoi fattori è uguale a zero. Pertanto, per (x + 3)(x + 3) = 0, è necessario che (x + 3) = 0 oppure (x + 3) = 0. Quindi i due risultati uguali per l'equazione x2 + 6x + 9 = 0, che sono: x = – 3 oppure x = – 3.
In breve: per risolvere l'equazione x2 + 6x + 9 = 0, scrivi:
X2 + 6x + 9 = 0
(x + 3)2 = 0
(x + 3)(x + 3) = 0
x = – 3 oppure x = – 3
In tal caso l'equazione quadratica non è un trinomio quadrato perfetto
Un'equazione del secondo in cui il coefficiente b e il coefficiente c non soddisfano le relazioni sopra stabilite non è un trinomio quadrato perfetto. In questo caso, il metodo risolutivo evidenziato sopra può essere utilizzato con l'aggiunta di alcuni passaggi. Nota il seguente esempio:
Esempio: Calcola le radici dell'equazione x2 + 6x – 7 = 0.
Nota che questa equazione non è un trinomio quadrato perfetto. Per farlo, possiamo usare le seguenti operazioni:
Nota che b = 2·3, quindi nel primo membro l'espressione che dovrebbe apparire è x2 + 6x + 9, perché in questa espressione b = 2·3 e c = 32.
Per questa "trasformazione", aggiungi 32 sui due membri di questa equazione, "passare" il - 7 al secondo membro, eseguire le operazioni possibili e osservare i risultati:
X2 + 6x - 7 + 32 = 0 + 32
X2 + 6x + 32 = 32 + 7
X2 + 6x + 9 = 9 + 7
X2 + 6x + 9 = 16
(x + 3)2 = 16
(x + 3)2 = √16
x + 3 = 4 o x + 3 = – 4
Quest'ultimo passaggio deve essere suddiviso in due equazioni, poiché la radice di 16 può essere 4 o – 4 (questo si verifica solo nelle equazioni. Se viene chiesto qual è la radice di 16, la risposta è solo 4). Quindi, è necessario trovare tutti i risultati possibili. Continuando:
x + 3 = 4 o x + 3 = – 4
x = 4 – 3 oppure x = – 4 – 3
x = 1 o x = – 7
In tal caso il coefficiente "a" non è uguale a 1
I casi precedenti sono destinati alle equazioni quadratiche in cui il coefficiente "a" è uguale a 1. Se il coefficiente “a” è diverso da 1, basta dividere l'intera equazione per il valore di “a” e procedere con i calcoli come nel caso precedente.
Esempio: Calcola 2x radici2 + 16x – 18 = 0
Nota che a = 2. Quindi dividi l'intera equazione per 2 e semplifica i risultati:
2x2 + 16x – 18 = 0
2 2 2 2
X2 + 8x – 9 = 0
Fatto ciò, ripetere le procedure del caso precedente.
X2 + 8x – 9 = 0
X2 + 8x – 9 + 16 = 0 + 16
X2 + 8x + 16 = 9 + 16
(x + 4)2 = 25
(x + 4)2 = √25
x + 4 = 5 o x + 4 = –5
x = 5 – 4 oppure x = – 5 – 4
x = 1 o x = – 9
Prodotti notevoli ed equazioni di secondo grado: origine del metodo di completamento quadrato
Le equazioni quadratiche sono molto simili ai prodotti notevoli somma al quadrato e quadrato della differenza.
La somma al quadrato, ad esempio, è la somma di due monomi al quadrato. Orologio:
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2
Il primo membro dell'uguaglianza di cui sopra è noto come prodotto notevole e il secondo come trinomio quadrato perfetto. Quest'ultima è molto simile a un'equazione di secondo grado. Orologio:
Trinomio quadrato perfetto: X2 + 2kx + k2
Equazione di secondo grado: ascia2 + bx + c = 0
In questo modo, se c'è un modo per scrivere un'equazione quadratica come un prodotto notevole, forse c'è anche un modo per trovare i tuoi risultati senza la necessità di usare la formula di Bhaskara.
Per fare ciò, si noti che, nel prodotto notevole sopra, a = 1, b = 2·k e c = k2. In questo modo è possibile scrivere equazioni che soddisfino questi requisiti sotto forma di un prodotto notevole.
Quindi guarda i coefficienti nell'equazione. Se "a" è diverso da 1, dividere l'intera equazione per il valore di "a". In caso contrario, osservare il coefficiente “b”. Il valore numerico della metà di questo coefficiente deve essere uguale al valore numerico della radice quadrata del coefficiente “c”. Matematicamente, data l'equazione ax2 + bx + c = 0, se a = 1 e inoltre:
B = c
2
Quindi, puoi scrivere questa equazione in questo modo:
ascia2 + bx + c = (x + B) = 0
2
E le sue radici saranno - B e + b.
2 2
Da qui tutta la teoria utilizzata per calcolare le radici delle equazioni quadratiche con il metodo del completamento dei quadrati.
Di Luiz Paulo Moreira
Laureato in Matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-completar-quadrados.htm