Iperbole. definizione di iperbole

Cos'è l'iperbole?
Definizione: Siano F1 e F2 due punti sul piano e sia 2c la loro distanza, l'iperbole è l'insieme dei punti del piano la cui differenza (in modulo) delle distanze da F1 e F2 è la costante 2a (0 < 2a < 2c).
Elementi di un'iperbole:

F1 e F2 → sono i fuochi dell'iperbole
→ è il centro dell'iperbole
2c → lunghezza focale
2° → misurazione dell'asse reale o trasversale
2b → misurazione dell'asse immaginario
c/a → eccentricità
Esiste una relazione tra a, b e c → c² = il² + b²

Equazione ridotta iperbole
1° caso: Iperbole con focus sull'asse x.

È chiaro che in questo caso i fuochi avranno coordinate F1 (-c, 0) e F2(c, 0).
Pertanto, l'equazione ridotta dell'ellisse con centro all'origine del piano cartesiano e focalizzato sull'asse x sarà:

2° caso: Iperbole con fuochi sull'asse y.

In questo caso i fuochi avranno coordinate F1 (0, -c) e F2(0, c).
Pertanto, l'equazione ridotta dell'ellisse con centro all'origine del piano cartesiano e focalizza sull'asse y sarà:

Esempio 1. Trova l'equazione ridotta dell'iperbole con asse reale 6, fuochi F1(-5, 0) e F2(5, 0).

Soluzione: dobbiamo
2a = 6 → a = 3
F1(-5, 0) e F2(5, 0) → c = 5
Dalla notevole relazione si ottiene:
ç² = il² + b^2 → 5² = 3² + b² → b² =25 - 9 → b² = 16 → b = 4
Pertanto, l'equazione ridotta sarà data da:

Esempio 2. Trova l'equazione dell'iperbole ridotta che ha due fuochi con coordinate F2 (0, 10) e asse immaginario che misura 12.
Soluzione: dobbiamo
F2(0, 10) → c = 10
2b = 12 → b = 6
Usando la relazione notevole, otteniamo:
10² = il² + 6² → 100 = a² + 36 → a² = 100 - 36 → a² = 64 → a = 8.
Pertanto, l'equazione dell'iperbole ridotta sarà data da:

Esempio 3. Determinare la lunghezza focale dell'iperbole con l'equazione
Soluzione: Poiché l'equazione dell'iperbole è di tipo  Dobbiamo
Il² = 16 e b² =9
Dalla notevole relazione che otteniamo
ç² = 16 + 9 → c² = 25 → c = 5
La lunghezza focale è data da 2c. Così,
2c = 2*5 =10
Quindi la lunghezza focale è 10.

di Marcelo Rigonatto
Specialista in Statistica e Modellistica Matematica
Squadra scolastica brasiliana

Geometria Analitica - Matematica - Brasile Scuola