O volume della sfera è lo spazio occupato da questo solido geometrico. Attraverso il raggio di palla — cioè dalla distanza tra il centro e la superficie — è possibile calcolarne il volume.
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Riassunto sul volume della sfera
La sfera è a corpo rotondo ottenuta ruotando un semicerchio attorno ad un asse contenente il diametro.
Tutti i punti su una sfera sono a una distanza uguale o minore di r dal centro della sfera.
Il volume della sfera dipende dalla misura del raggio.
La formula per il volume della sfera è \(V=\frac{4·π·r^3}3\)
Video lezione sul volume della sfera
Cos'è la sfera?
Consideriamo un punto O nello spazio e un segmento di misura r. la sfera è il solido formato da tutti i punti che si trovano a una distanza uguale o minore di r da O. Chiamiamo O il centro della sfera ed r il raggio della sfera.
la sfera può anche essere caratterizzato come un solido di rivoluzione. Si noti che la rotazione di un semicerchio attorno a un asse contenente il suo diametro forma una sfera:
Formula del volume della sfera
Per calcolare il volume V di una sfera, usiamo la formula seguente, dove r è il raggio della sfera:
\(V=\frac{4·π·r^3}{3}\)
È importante osservare il unità di misura raggio per determinare l'unità di misura del volume. Ad esempio, se r è espresso in cm, allora il volume deve essere espresso in cm³.
Come calcolare il volume della sfera?
Il calcolo del volume della sfera dipende solo dalla misura del raggio. Diamo un'occhiata a un esempio.
Esempio: Usando l'approssimazione π = 3, trova il volume di un pallone da basket di 24 centimetri di diametro.
Poiché il diametro è il doppio del raggio, r = 12 cm. Applicando la formula per il volume della sfera, abbiamo
\(V=\frac{4·π·12^3}3\)
\(V=\frac{4 · π·1728}3\)
\(V=6 912\ cm^3\)
regioni della sfera
Consideriamo una sfera di centro O e raggio r. Come questo, possiamo considerare tre regioni di questa sfera:
La regione interna è formata dai punti la cui distanza dal centro è minore del raggio. Se P appartiene alla regione interna della sfera, allora
\(D(P, O)
La regione della superficie è formata dai punti la cui distanza dal centro è uguale al raggio. Se P appartiene alla regione della superficie della sfera, allora
\(D(P, O)=r\)
La regione esterna è formata dai punti la cui distanza dal centro è maggiore del raggio. Se P appartiene alla regione interna della sfera, allora
\(D(P, O)>r\)
Di conseguenza, i punti sulla regione esterna della sfera non appartengono alla sfera.
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Altre formule sfera
UN zona della sfera — cioè la misura della sua superficie — ha anch'essa una formula nota. Se r è il raggio della sfera, la sua area A è calcolata da
\(A=4·π·r^2\)
In questo caso è importante anche annotare l'unità di misura del raggio per indicare l'unità di misura dell'area. Ad esempio, se r è in cm, allora A deve essere in cm².
Esercizi risolti sul volume della sfera
domanda 1
Qual è il raggio di una sfera che ha un volume di 108 centimetri cubi? (Usa π = 3).
a) 2 cm
b) 3 cm
c) 4 cm
g) 5 cm
e) 6 cm
Risoluzione
Alternativa B.
Considera che R è il raggio della sfera. Sapendo che V = 108, possiamo usare la formula per il volume della sfera:
\(V=\frac{4·π·r^3}3\)
\(108=\frac{4·3·r^3}3\)
\(108=4·r^3\)
\(r^3=27\)
\(r = 3\ cm\)
Domanda 2
Un antico serbatoio sferico ha un diametro di 20 metri e un volume V1. Si desidera costruire un secondo serbatoio, di volume V2, con il doppio del volume del vecchio serbatoio. Quindi, v2 è lo stesso di
IL) \(\frac{3000·π}{8} m^3\)
B) \(\frac{3000·π}{4}m^3\)
w) \(\frac{2000·π}{3} m^3\)
D) \(\frac{4000·π}{3} m^3\)
È) \(\frac{8000·π}{3} m^3\)
Risoluzione
Alternativa E.
Poiché il diametro è doppio del raggio, il vecchio serbatoio ha raggio r = 10 metri. Perciò
\(V_1=\frac{4·π·r^3}3\)
\(V_1=\frac{4·π·10^3}3\)
\(V_1=\frac{4000·π}3\ m^3\)
Con la dichiarazione, \(V_2=2·V_1\), cioè
\(V_2=\frac{8000·π}3 m^3\)
Di Maria Luiza Alves Rizzo
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-da-esfera.htm