Uno radice quadrata approssimativa è una rappresentazione finita di a numero irrazionale. In molti casi, quando si lavora con radici quadrate, per i nostri calcoli è sufficiente una stima con pochi decimali.
La calcolatrice è uno strumento importante in questo processo. La sua visualizzazione, che ha uno spazio limitato, indica una buona approssimazione per radici quadrate non esatte. Ma è possibile trovare queste stime anche senza l'ausilio di un calcolatore, come vedremo in seguito.
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Riepilogo approssimativo della radice quadrata
Una radice quadrata inesatta è un numero irrazionale.
Possiamo trovare valori approssimativi per radici quadrate non esatte.
La precisione dell'approssimazione dipende dal numero di cifre decimali utilizzate.
L'approssimazione può essere fatta in diversi modi, anche con l'ausilio della calcolatrice.
Trovare un'approssimazione y alla radice quadrata di x significa che y² è molto vicino a x, ma y² non è uguale a x.
Video lezione sulla radice quadrata approssimata
Come si calcola la radice quadrata approssimativa?
Ci sono modi diversi per calcolare l'approssimazione di una radice quadrata. Uno di questi è la calcolatrice! Ad esempio, quando scriviamo \(\sqrt{2}\) sulla calcolatrice e fare clic su =, il numero risultante è un'approssimazione. Lo stesso vale con \(\sqrt{3}\) È \(\sqrt{5}\), che sono anche radici quadrate non esatte, cioè sono numeri irrazionali.
Un altro modo è usare radici esatte vicine alla radice non esatta studiata. Ciò consente di confrontare le rappresentazioni decimali e trovare un intervallo per la radice non esatta. Pertanto, possiamo testare alcuni valori finché non troviamo una buona approssimazione.
Sembra difficile, ma non preoccuparti: è un processo di test. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi.
Esempi
Trova un'approssimazione a due cifre decimali per \(\mathbf{\sqrt{5}}\).
capito che \(\sqrt{4}\) È \(\sqrt{9}\) sono le radici esatte più vicine di \(\sqrt{5}\). Ricorda che maggiore è il radicando, maggiore è il valore della radice quadrata. Quindi, possiamo concludere che
\(\sqrt{4}
\(2
Cioè, \(\sqrt5\) è un numero compreso tra 2 e 3.
Ora è il momento del test: scegliamo dei valori compresi tra 2 e 3 e controlliamo se ogni numero al quadrato si avvicina al 5. (Ricordati che \(\sqrt5=a\) Se \(a^2=5\)).
Per semplicità, iniziamo con i numeri con una cifra decimale:
\(2,1^2=4,41\)
\(2,2^2=4,84\)
\(2,3^2=5,29\)
Nota che non abbiamo nemmeno bisogno di continuare ad analizzare i numeri fino a una cifra decimale: il numero che stiamo cercando è compreso tra 2,2 e 2,3.
\(2,2
Ora, poiché stiamo cercando un'approssimazione con due cifre decimali, procediamo con i test:
\(2,21^2=4,8841\)
\(2,22^2=4,9284\)
\(2,23^2=4,9729\)
\(2,24^2=5,0176\)
Ancora una volta, possiamo interrompere l'analisi. Il numero che stai cercando è compreso tra 2,23 e 2,24.
\(2.23
Ma e adesso? Di quale di questi valori con due cifre decimali scegliamo come approssimazione \(\sqrt5\)? Entrambe sono buone opzioni, ma nota che la migliore è quella il cui quadrato è più vicino a 5:
\(5–2,23^2=5-4,9729=0,0271\)
\(2,24^2-5=5,0176-5=0,0176\)
Cioè, \(2,24^2 \) è più vicino a 5 di \(2,23^2\).
Pertanto, la migliore approssimazione a due cifre decimali per \(\sqrt5\) é 2,24. Lo scriviamo \(\sqrt5≈2.24\).
Trova un'approssimazione a due cifre decimali per \(\mathbf{\sqrt{20}}\).
Potremmo iniziare allo stesso modo dell'esempio precedente, cioè cercare le radici esatte di cui i radicandi sono vicini a 20, ma si noti che è possibile diminuire il valore del radicando e facilitare la conti:
\(\sqrt{20}=\sqrt{4·5}=\sqrt4·\sqrt5=2\sqrt5\)
Si noti che abbiamo eseguito la scomposizione del radicando 20 e utilizzato una proprietà di rooting.
Ora come \(\sqrt20=2\sqrt5\), possiamo usare l'approssimazione con due cifre decimali to \(\sqrt5\) dall'esempio precedente:
\(\sqrt{20} ≈2.2,24 \)
\(\sqrt{20} ≈4.48\)
Osservazione: poiché usiamo un numero approssimativo (\(\sqrt5≈2.24\)), il valore 4.48 potrebbe non essere la migliore approssimazione con due cifre decimali per \(\sqrt{20}\).
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Differenze tra radice quadrata approssimativa e radice quadrata esatta
Una radice quadrata esatta è a numero razionale. capito che \(\sqrt9\),\(\sqrt{0,16}\) È \(\sqrt{121}\) sono esempi di radici quadrate esatte, come \(\sqrt{9}=3\), \(\sqrt{0,16}=0,4\) È \(\sqrt{121}=11\). Inoltre, quando applichiamo l'operazione inversa (cioè la potenziamento con esponente 2), si ottiene il radicando. Negli esempi precedenti, abbiamo \(3^2=9\), \(0,4^2=0,16\) È \(11^2=121\).
Una radice quadrata inesatta è un numero irrazionale (ovvero un numero con infinite cifre decimali non ripetute). Pertanto, usiamo approssimazioni nella sua rappresentazione decimale. capito che \(\sqrt2\), \(\sqrt3\) È \(\sqrt6\) sono esempi di radici non esatte, perché \(\sqrt2≈1.4142135\), \(\sqrt3≈1.7320508\) È \(\sqrt6≈2.44949\). Inoltre, quando applichiamo l'operazione inversa (ovvero potenziamento con esponente 2), otteniamo un valore prossimo al radicando, ma non uguale. Negli esempi precedenti, abbiamo \(1,4142135^2=1,999999824\), \(1,7320508^2=2,999999974\) È \(2,44949^2=6,00000126\).
Esercizi risolti sulla radice quadrata approssimata
domanda 1
Disponi i seguenti numeri in ordine crescente: \(13,\sqrt{150},\sqrt{144},14\).
Risoluzione
capito che \(\sqrt{150}\) è una radice quadrata non esatta e \(\sqrt{144}\) è esatto (\(\sqrt{144}=12\)). Quindi, abbiamo solo bisogno di identificare la posizione di \(\sqrt{150}\).
notare che \(13=\sqrt{169}\). Considerando che maggiore è il radicando, maggiore è il valore della radice quadrata, abbiamo quello
\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < \sqrt{169}\)
Pertanto, disponendo i numeri in ordine crescente, abbiamo
\(\sqrt{144} < \sqrt{150} < 13 < 14\)
Domanda 2
Tra le seguenti alternative, qual è la migliore approssimazione con una cifra decimale per il numero \(\sqrt{54}\)?
a) 6.8
b) 7.1
c) 7.3
d) 7.8
f) 8.1
Risoluzione
Alternativa C
notare che \(\sqrt{49}\) È \(\sqrt{64}\) sono le radici quadrate esatte più vicine di \(\sqrt{54}\). COME \(\sqrt{49}=7\) È \(\sqrt{64}=8\), Dobbiamo
\(7
Vediamo alcune possibilità di approssimazione con una cifra decimale per \(\sqrt{54}\):
\(7,1^2=50,41\)
\(7,2^2=51,84\)
\(7,3^2=53,29\)
\(7,4^2=54,76\)
Si noti che non è necessario continuare con i test. Inoltre, tra le alternative, 7.3 è la migliore approssimazione a una cifra decimale per \(\sqrt{54}\).
Di Maria Luiza Alves Rizzo
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/raiz-quadrada-aproximada.htm
