UN calotta sferica e il solido geometrico ottenuto quando una sfera viene intercettata da un piano, dividendolo in due solidi geometrici. La calotta sferica è considerata un corpo rotondo perché, come la sfera, ha una forma arrotondata. Per calcolare l'area e il volume di una calotta sferica, utilizziamo formule specifiche.
Leggi anche: Tronco di cono — Il solido geometrico formato dalla parte inferiore del cono quando viene realizzata una sezione parallela alla base
Argomenti di questo articolo
- 1 - Riepilogo sulla calotta sferica
- 2 - Cos'è una calotta sferica?
- 3 - Elementi della calotta sferica
- 4 - La calotta sferica è un poliedro o un corpo rotondo?
- 5 - Come calcolare il raggio della calotta sferica?
- 6 - Come calcolare l'area della calotta sferica?
- 7 - Come calcolare il volume della calotta sferica?
- 8 - Esercizi risolti sulla calotta sferica
Riassunto sulla calotta sferica
- La calotta sferica è un solido geometrico ottenuto quando la sfera è divisa da un piano.
- Gli elementi principali della calotta sferica sono il raggio della sfera, il raggio della calotta sferica e l'altezza della calotta sferica.
- La calotta sferica non è un poliedro, ma un corpo rotondo.
- Se il piano divide la sfera a metà, la calotta sferica forma un emisfero.
- È possibile calcolare il raggio della calotta sferica utilizzando il teorema di Pitagora, organizzato come segue:
\(\sinistra (R-h\destra)^2+r^2=R^2\)
- L'area della calotta sferica può essere calcolata utilizzando la formula:
\(A=2\pi rh\ \)
- Il volume della calotta sferica può essere calcolato utilizzando la seguente formula:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\cdot\sinistra (3r-h\destra)\)
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Cos'è una calotta sferica?
calotta sferica è il solido geometrico ottenuto quando una sezione del palla comune Piatto. Quando tagliamo la sfera con un piano, dividiamo questa sfera in due calotte sferiche. Quando dividiamo la sfera a metà, la calotta sferica è nota come emisfero.
Elementi a calotta sferica
In una calotta sferica, gli elementi principali sono il raggio della sfera, il raggio della calotta sferica e l'altezza della calotta sferica.
- R → raggio della sfera.
- r → raggio della calotta sferica.
- h → altezza della calotta sferica.
La calotta sferica è un poliedro o un corpo rotondo?
Possiamo vedere che il tappo è un solido geometrico. Avendo una base circolare e una superficie arrotondata, la calotta sferica è considerata a corpo rotondo, noto anche come solido di rivoluzione. Vale la pena ricordare che il poliedro ha facce formate da poligoni, che non è il caso della calotta sferica, che ha una base formata da a cerchio.
Come calcolare il raggio della calotta sferica?
Per calcolare la lunghezza del raggio della calotta sferica, è necessario conoscere la lunghezza dell'altezza h della calotta sferica e la lunghezza del raggio R della sfera, perché, come possiamo vedere nell'immagine seguente, esiste una relazione pitagorica.
Nota che abbiamo a triangolo rettangolo, il triangolo OO'B, con ipotenusa che misura R e cateti che misurano R – h e r. Applicando il teorema di Pitagora, Dobbiamo:
\(\sinistra (R-h\destra)^2+r^2=R^2\)
Esempio:
Qual è il raggio di una calotta sferica che ha un'altezza di 2 cm, dato che il raggio della sfera è di 5 cm?
Risoluzione:
Applicando la relazione pitagorica:
\(\sinistra (R-h\destra)^2+r^2=R^2\)
\(\sinistra (5-2\destra)^2+r^2=5^2\)
\(3^2+r^2=25\)
\(9+r^2=25\)
\(r^2=25-9\)
\(r^2=16\)
\(r=\sqrt{16}\)
\(r=4\)
Come calcolare l'area della calotta sferica?
Per calcolare l'area della calotta sferica, è necessario conoscere la misura della lunghezza del raggio R della sfera e dell'altezza h della calotta. La formula utilizzata per calcolare l'area della superficie è:
\(A=2\pi Rh\)
- R → raggio della sfera.
- h → altezza della calotta sferica.
Esempio:
Da una sfera di raggio 6 cm e altezza 4 cm è stata ottenuta una calotta sferica. Quindi qual è la superficie di questa calotta sferica?
Risoluzione:
Calcolando l'area della calotta sferica, abbiamo:
\(A=2\pi Rh\)
\(A=2\cdot\pi\cdot6\cdot4\ \)
\(A=48\pi\ cm^2\)
Come calcolare il volume della calotta sferica?
Il volume della calotta sferica può essere calcolato in due modi. La prima formula dipende dal raggio R della sfera e dall'altezza h:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\sinistra (3 R-h\destra)\)
Esempio:
Qual è il volume di una calotta sferica ottenuta da una sfera di raggio 8 cm la cui altezza della calotta sferica è 6 cm?
Risoluzione:
Poiché conosciamo il valore di R e h, useremo la prima formula.
R = 8
h = 6
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\sinistra (3 R-h\destra)\)
\(V=\frac{\pi6^2}{3}\sinistra (3\cdot8-6\destra)\)
\(V=\frac{36\pi}{3}\sinistra (24-6\destra)\)
\(V=12\pi\sinistra (18\destra)\)
\(V=216\pi\ cm^3\)
L'altra formula del volume della calotta sferica tiene conto del raggio della calotta sferica r e dell'altezza della calotta h:
\(V=\frac{\pi h}{6}\sinistra (3r^2+h^2\destra)\)
Esempio:
Qual è il volume di una calotta sferica che ha il raggio di 10 cm e l'altezza di 4 cm?
Risoluzione:
In questo caso abbiamo r = 10 cm e h = 4 cm. Poiché conosciamo il valore del raggio della calotta sferica e l'altezza, utilizzeremo la seconda formula:
\(V=\frac{\pi h}{6}\sinistra (3r^2+h^2\destra)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\sinistra (3{\cdot10}^2+4^2\destra)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\sinistra (3\cdot100+16\destra)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\sinistra (300+16\destra)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\sinistra (316\destra)\)
\(V=\frac{1264\pi}{6}\)
\(V\circa210.7\ \pi\ cm³\)
Vedi anche: Tronco piramidale — il solido geometrico formato dal fondo della piramide quando si prende una sezione trasversale
Esercizi risolti sulla calotta sferica
domanda 1
(Enem) Per decorare la tavola di una festa per bambini, uno chef utilizzerà un melone sferico del diametro di 10 cm, che servirà da supporto per infilzare vari dolci. Staccherà dal melone una calotta sferica, come mostrato in figura, e, per garantire la stabilità di questo supporto, rendendo difficile il rotolamento del melone sul tavolo, lo chef taglierà in modo che il raggio r della sezione di taglio circolare sia almeno meno 3 cm. D'altra parte, il capo vorrà avere quanta più area possibile nella regione in cui verranno affissi i dolci.
Per raggiungere tutti i suoi obiettivi, lo chef deve tagliare la parte superiore del melone ad un'altezza h, in centimetri, pari a
UN) \(5-\frac{\sqrt{91}}{2}\)
B)\( 10-\sqrt{91}\)
c) 1
D) 4
E) 5
Risoluzione:
Alternativa C
Sappiamo che il diametro della sfera è 10 cm, quindi il suo raggio è 5 cm, quindi OB = 5 cm.
Se il raggio della sezione è esattamente 3 cm, abbiamo:
AO² +AB² = OB²
AO² + 3² = 5²
AO² + 9 = 25
AO² = 25 – 9
AO² = 16
AO = \(\sqrt{16}\)
AO = 4 cm
Perciò:
h + 4 = 5
h = 5 – 4
h = 1
Domanda 2
Una calotta sferica ha un'area di 144π cm². Sapendo che ha un raggio di 9 cm, l'altezza di questa calotta sferica è:
A) 8 cm
B) 10 cm
C) 14 cm
P) 16 cm
E) 22cm
Risoluzione:
Alternativa A
Lo sappiamo:
\(A=2\pi Rh\)
\(144\pi=2\pi\cdot9\cdot h\)
\(144\pi=18\pi h\)
\(\frac{144\pi}{18\pi}=h\)
\(8=h\)
L'altezza è di 8 cm.
Di Raúl Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica
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OLIVEIRA, Raúl Rodrigues de. "Calotta sferica"; Scuola Brasile. Disponibile in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm. Accesso effettuato il 20 luglio 2023.
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Servilismo
Il gergo adattato dall'inglese è usato per designare qualcuno che è visto come pacchiano, vergognoso, antiquato e fuori moda.
Neurodiversità
Termine coniato da Judy Singer, è usato per descrivere l'ampia varietà di modi in cui la mente umana si comporta.
PL di Fake News
Conosciuto anche come PL2660, è un disegno di legge che stabilisce meccanismi per la regolamentazione dei social network in Brasile.
