Volume della sfera: come calcolare?

O volume della sfera è lo spazio occupato da questo solido geometrico. Attraverso il raggio di palla — cioè dalla distanza tra il centro e la superficie — è possibile calcolarne il volume.

Leggi anche: Volume dei solidi geometrici

Argomenti di questo articolo

  • 1 - Riassunto sul volume della sfera
  • 2 - Video lezione sul volume della sfera
  • 3 - Cos'è una sfera?
  • 4 - Formula per il volume della sfera
  • 5 - Come calcolare il volume della sfera?
  • 6 - Regioni della sfera
  • 7 - Altre formule sfera
  • 8 - Esercizi risolti sul volume della sfera

Riassunto sul volume della sfera

  • La sfera è a corpo rotondo ottenuta ruotando un semicerchio attorno ad un asse contenente il diametro.

  • Tutti i punti su una sfera sono a una distanza uguale o minore di r dal centro della sfera.

  • Il volume della sfera dipende dalla misura del raggio.

  • La formula per il volume della sfera è \(V=\frac{4·π·r^3}3\)

Video lezione sul volume della sfera

Cos'è la sfera?

Consideriamo un punto O nello spazio e un segmento di misura r. la sfera è il solido formato da tutti i punti che si trovano a una distanza uguale o minore di r da O

. Chiamiamo O il centro della sfera ed r il raggio della sfera.

Rappresentazione di una sfera e del suo raggio.

la sfera può anche essere caratterizzato come un solido di rivoluzione. Si noti che la rotazione di un semicerchio attorno a un asse contenente il suo diametro forma una sfera:

Rappresentazione della rotazione di un semicerchio per formare una sfera.

Formula del volume della sfera

Per calcolare il volume V di una sfera, usiamo la formula seguente, dove r è il raggio della sfera:

\(V=\frac{4·π·r^3}{3}\)

È importante osservare il unità di misura raggio per determinare l'unità di misura del volume. Ad esempio, se r è espresso in cm, allora il volume deve essere espresso in cm³.

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Come calcolare il volume della sfera?

Il calcolo del volume della sfera dipende solo dalla misura del raggio. Diamo un'occhiata a un esempio.

Esempio: Usando l'approssimazione π = 3, trova il volume di un pallone da basket di 24 centimetri di diametro.

Poiché il diametro è il doppio del raggio, r = 12 cm. Applicando la formula per il volume della sfera, abbiamo

\(V=\frac{4·π·12^3}3\)

\(V=\frac{4 · π·1728}3\)

\(V=6 912\ cm^3\)

regioni della sfera

Consideriamo una sfera di centro O e raggio r. Come questo, possiamo considerare tre regioni di questa sfera:

  • La regione interna è formata dai punti la cui distanza dal centro è minore del raggio. Se P appartiene alla regione interna della sfera, allora

\(D(P, O)

  • La regione della superficie è formata dai punti la cui distanza dal centro è uguale al raggio. Se P appartiene alla regione della superficie della sfera, allora

\(D(P, O)=r\)

  • La regione esterna è formata dai punti la cui distanza dal centro è maggiore del raggio. Se P appartiene alla regione interna della sfera, allora

\(D(P, O)>r\)

Di conseguenza, i punti sulla regione esterna della sfera non appartengono alla sfera.

Saperne di più: Calotta sferica — solido ottenuto quando una sfera è intersecata da un piano

Altre formule sfera

UN zona della sfera — cioè la misura della sua superficie — ha anch'essa una formula nota. Se r è il raggio della sfera, la sua area A è calcolata da

\(A=4·π·r^2\)

In questo caso è importante anche annotare l'unità di misura del raggio per indicare l'unità di misura dell'area. Ad esempio, se r è in cm, allora A deve essere in cm².

Esercizi risolti sul volume della sfera

domanda 1

Qual è il raggio di una sfera che ha un volume di 108 centimetri cubi? (Usa π = 3).

a) 2 cm

b) 3 cm

c) 4 cm

g) 5 cm

e) 6 cm

Risoluzione

Alternativa B.

Considera che R è il raggio della sfera. Sapendo che V = 108, possiamo usare la formula per il volume della sfera:

\(V=\frac{4·π·r^3}3\)

\(108=\frac{4·3·r^3}3\)

\(108=4·r^3\)

\(r^3=27\)

\(r = 3\ cm\)

Domanda 2

Un antico serbatoio sferico ha un diametro di 20 metri e un volume V1. Si desidera costruire un secondo serbatoio, di volume V2, con il doppio del volume del vecchio serbatoio. Quindi, v2 è lo stesso di

IL) \(\frac{3000·π}{8} m^3\)

B) \(\frac{3000·π}{4}m^3\)

w) \(\frac{2000·π}{3} m^3\)

D) \(\frac{4000·π}{3} m^3\)

È) \(\frac{8000·π}{3} m^3\)

Risoluzione

Alternativa E.

Poiché il diametro è doppio del raggio, il vecchio serbatoio ha raggio r = 10 metri. Perciò

\(V_1=\frac{4·π·r^3}3\)

\(V_1=\frac{4·π·10^3}3\)

\(V_1=\frac{4000·π}3\ m^3\)

Con la dichiarazione, \(V_2=2·V_1\), cioè

\(V_2=\frac{8000·π}3 m^3\)

Di Maria Luiza Alves Rizzo
Insegnante di matematica

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RIZZO, Maria Luiza Alves. "Volume della sfera"; Scuola Brasile. Disponibile in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-da-esfera.htm. Accesso effettuato il 18 luglio 2023.

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