Matrice simmetrica: cos'è, esempi, proprietà

matrice simmetrica È Sede centrale in cui ogni elemento \(a_{ij}\) è uguale all'elemento \(a_{ji}\) per tutti i valori di i e j. Di conseguenza, ogni matrice simmetrica è uguale alla sua trasposta. Vale anche la pena ricordare che ogni matrice simmetrica è quadrata e che la diagonale principale funge da asse di simmetria.

Leggi anche:Addizione e sottrazione di matrici: come calcolare?

Argomenti di questo articolo

1 - Riassunto sulla matrice simmetrica
2 - Cos'è una matrice simmetrica?
3 - Quali sono le proprietà della matrice simmetrica?
4 - Quali sono le differenze tra la matrice simmetrica e la matrice antisimmetrica?
5 - Esercizi risolti su matrice simmetrica

Riassunto sulla matrice simmetrica

In una matrice simmetrica, \(a_{ij}=a_{ji}\) per tutti i e j.
Ogni matrice simmetrica è quadrata.
Ogni matrice simmetrica è uguale alla sua trasposta.
Gli elementi di una matrice simmetrica sono simmetrici rispetto alla diagonale principale.
Mentre nella matrice simmetrica \(a_{ij}=a_{ji}\) per tutti i e j; in una matrice antisimmetrica, \(a_{ij}=-a_{ji}\) per tutti i e j.

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Cos'è una matrice simmetrica?

Una matrice simmetrica è una matrice quadrata dove \(\mathbf{a_{ij}=a_{ji}}\) per ogni i e ogni j. Ciò significa che \(a_{12}=a_{21},a_{23}=a_{32},a_{13}=a_{13}\), e così via, per tutti i possibili valori di i e j. Ricordiamo che i possibili valori di i corrispondono alle righe della matrice e i possibili valori di j corrispondono alle colonne della matrice.

Esempi di matrici simmetriche

\(\begin{bmatrix} 5 & 9 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 7 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)

Esempi di matrici non simmetriche (si consideri \(\mathbf{b≠g}\))

\(\begin{bmatrix} 5 & 8 \\ 9 & 3 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -2 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 3 \\ 4 & 3 & 8 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} a & g & c \\ b & d & e \\ c & e & f \\ \end{bmatrix}\)

Importante: Dire che una matrice non è simmetrica significa dimostrarlo \(a_{ij}≠a_{ji}\) per almeno alcuni i e j (che possiamo vedere confrontando gli esempi precedenti). Questo è diverso dal concetto di matrice antisimmetrica, che vedremo più avanti.

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Quali sono le proprietà della matrice simmetrica?

Ogni matrice simmetrica è quadrata

Si noti che la definizione di matrice simmetrica si basa su matrici quadrate. Pertanto, ogni matrice simmetrica ha lo stesso numero di righe del numero di colonne.

Ogni matrice simmetrica è uguale alla sua trasposta

Se A è una matrice, la sua trasposto (\(A^T\)) è definita come la matrice le cui righe sono le colonne di A e le cui colonne sono le righe di A. Quindi, se A è una matrice simmetrica, abbiamo \(A=A^T\).

Nella matrice simmetrica gli elementi sono “riflessi” rispetto alla diagonale principale

COME \(a_{ij}=a_{ji}\) in una matrice simmetrica, gli elementi sopra la diagonale principale sono "riflessi" degli elementi sottostanti della diagonale (o viceversa) rispetto alla diagonale, in modo che la diagonale principale funga da asse di simmetria.

Quali sono le differenze tra la matrice simmetrica e la matrice antisimmetrica?

Se A è una matrice simmetrica, allora \(a_{ij}=a_{ji}\) per tutti i e tutti j, come abbiamo studiato. Nel caso della matrice antisimmetrica, la situazione è diversa. Se B è una matrice antisimmetrica, allora \(\mathbf{b_{ij}=-b_{ji}}\) per ogni i e ogni j.

Si noti che questo risulta in \(b_{11}=b_{22}=b_{33}=⋯=b_{nn}=0\), questo è, gli elementi diagonali principali sono zero. Una conseguenza di ciò è che la trasposta di una matrice antisimmetrica è uguale al suo opposto, cioè se B è una matrice antisimmetrica, allora \(B^T=-B\).

Esempi di matrici antisimmetriche

\(\begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 5 & -1 \\ -5 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & -m & x \\ m & 0 & -y \\ -x & y & 0 \\ \end{bmatrix}\)

Vedi anche: Matrice identità: la matrice in cui gli elementi diagonali principali sono uguali a 1 e gli elementi rimanenti sono uguali a 0

Esercizi risolti su matrice simmetrica

domanda 1

(Unicentro)

se la matrice \(\begin{bmatrix} 1 & x & y-1 \\ y-1 & 0 & x+5 \\ x & 7 & -1 \\ \end{bmatrix}\) è simmetrico, quindi il valore di xy è:

A) 6

B) 4

c) 2

D) 1

E) -6

Risoluzione:

Alternativa A

Se la matrice data è simmetrica, gli elementi in posizioni simmetriche sono uguali (\(a_{ij}=a_{ji}\)). Pertanto, dobbiamo:

\(x = y - 1\)

\(x + 5 = 7\)

Sostituisce il primo equazione nel secondo, concludiamo che \(y=3\), Presto:

\(x=2\) È \(xy=6\)

Domanda 2

(UFSM) Sapendo che la matrice \(\begin{bmatrix} Y & 36 & -7 \\ x^2 & 0 & 5x \\ 4-y & -30 & 3 \\ \end{bmatrix}\) è uguale alla sua trasposizione, il valore di \(2x+y\) é:

A) -23

B) -11

C) -1

D) 11

E) 23

Risoluzione:

Alternativa C

Poiché la matrice data è uguale alla sua trasposta, allora è una matrice simmetrica. Pertanto, gli elementi in posizioni simmetriche sono uguali (\(a_{ij}=a_{ji}\)), cioè:

\(x^2=36\)

\(4-y=-7\)

\(-30=5x\)

Per la prima equazione, x=-6 O x=6. Dalla terza equazione, otteniamo la risposta corretta: x= -6. Per la seconda equazione, y=11.

Presto:

\(2x+y=2.(-6)+11=-1\)

Di Maria Luiza Alves Rizzo
Insegnante di matematica

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RIZZO, Maria Luiza Alves. "Matrice simmetrica"; Scuola Brasile. Disponibile in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-simetrica.htm. Accesso effettuato il 18 luglio 2023.

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