UN proporzione d'oro o la proporzione divina è un'uguaglianza associata a idee di armonia, bellezza e perfezione. Euclide di Alessandria, matematico greco vissuto intorno al 300 a.C. C., fu uno dei primi pensatori a formalizzare questo concetto che fino ad oggi incuriosisce ricercatori di diversi ambiti.
La ragione di questo interesse è che la sezione aurea può essere osservata in modo approssimativo in natura, anche nei semi e nelle foglie delle piante e nel corpo umano. Di conseguenza, il rapporto aureo è oggetto di studio da parte di diversi professionisti, come biologi, architetti, artisti e designer.
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Argomenti di questo articolo
- 1 - Sintesi della sezione aurea
- 2 - Come calcolare il numero aureo?
- 3 - Sezione aurea e sequenza di Fibonacci
- 4 - Rapporto aureo e rettangolo aureo
-
5 - Applicazioni della sezione aurea
- Rapporto aureo in architettura
- Rapporto aureo nel corpo umano
- rapporto aureo nell'arte
- Rapporto aureo in natura
- Rapporto aureo nel design
- 6 - Esercizi risolti sulla sezione aurea
Riassunto sulla sezione aurea
Il rapporto aureo è il rapporto per \(a>b>0\) tale che
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
In queste condizioni, il motivo ILB si chiama sezione aurea.
La sezione aurea è collegata a concezioni di equilibrio, purezza e perfezione.
La lettera greca ϕ (leggi: fi) rappresenta il numero aureo, che è la costante ottenuta dalla sezione aurea.
Nella sequenza di Fibonacci, i quozienti tra ogni termine e il suo predecessore si avvicinano al numero aureo.
Il rettangolo aureo è un rettangolo i cui lati sono nel rapporto aureo.
Cos'è la sezione aurea?
Si consideri un segmento di linea diviso in due pezzi: quello maggiore di misura IL e il più piccolo B. capito che a+b è la misura dell'intero segmento.
il rapporto aureo è l'uguaglianza tra i motivi\(\mathbf{\frac{a+b}a}\) È \(\mathbf{\frac{a}{b}}\), cioè
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b\)
In questo contesto diciamo così IL È B sono in rapporto aureo.
Ma per quali valori di IL È B abbiamo la sezione aurea? Questo è quello che vedremo dopo.
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Come calcolare il numero aureo?
La ragione \(\frac{a}b\)(o, allo stesso modo, la ragione \(\frac{a+b}a\)) risulta in una costante chiamata numero aureo e rappresentato dalla lettera greca ϕ. Pertanto, è comune scrivere
\(\frac{a+b}a =\frac{a}b=ϕ\)
Per calcolare il numero aureo, consideriamo il rapporto aureo per b = 1. Quindi, possiamo facilmente trovare il valore di IL e ottieni φ dall'uguaglianza \(\mathbf{\frac{a}{b}=ϕ}\).
Nota che possiamo scrivere la sezione aurea come segue, usando la proprietà della moltiplicazione incrociata:
\(a^2=b⋅(a+b)\)
Sostituendo b = 1, abbiamo
\(a^2=1⋅(a+1)\)
\(a^2-a-1=0\)
Applicando la formula di Bhaskara per questa equazione quadratica, concludiamo che la soluzione positiva di IL é
\(a=\frac{1+\sqrt5}2\)
COME IL è una misura di un segmento, ignoreremo la soluzione negativa.
Così come \(\frac{a}b=ϕ\), Il valore esatto del numero aureo è:
\(ϕ=\frac{1+\sqrt5}2\)
Calcolando il quoziente, otteniamo Il valore approssimativo del numero aureo:
\(ϕ≈1,618033989\)
Vedi anche: Come risolvere operazioni matematiche con le frazioni?
Rapporto aureo e sequenza di Fibonacci
UN La sequenza di Fibonacci è una lista di numeri dove ogni termine, a partire dal terzo, è uguale alla somma dei due predecessori. Diamo un'occhiata ai primi dieci termini di questa sequenza:
\(a_1=1\)
\(a_2=1\)
\(a_3=1+1=2\)
\(a_4=1+2=3\)
\(a_5=2+3=5\)
\(a_6=3+5=8\)
\(a_7=5+8=13\)
\(a_8=8+13=21\)
\(a_9=13+21=34\)
\(a_{10}=21+34=55\)
Mentre calcoliamo il quoziente tra ogni termine e il suo predecessore nella sequenza di Fibonacci, ci stiamo avvicinando al numero aureo ϕ:
\(\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}1=1\)
\(\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}1=2\)
\(\frac{a_4}{a_3}=\frac{3}2=1.5\)
\(\frac{a_5}{a_4}=\frac{5}3=1.6666…\)
\(\frac{a_6}{a_5}=\frac{8}5=1.6\)
\(\frac{a_7}{a_6}=\frac{13}8=1.625\)
\(\frac{a_8}{a_7}=\frac{21}{13}=1.6153…\)
\(\frac{a_9}{a_8}=\frac{34}{21}=1.61904…\)
\(\frac{a_10}{a_9}=\frac{55}{34}=1.61764…\)
Rapporto aureo e rettangolo aureo
Uno rettangolo dove il lato più lungo IL e il lato più piccolo B sono in rapporto aureo si chiama rettangolo aureo. Un esempio di rettangolo aureo è un rettangolo i cui lati misurano 1 cm e \(\frac{1+\sqrt5}2\) cm.
Saperne di più: Cosa sono le grandezze direttamente proporzionali?
Applicazioni della sezione aurea
Si noti che, fino ad ora, abbiamo studiato la sezione aurea solo in contesti matematici astratti. Successivamente, vedremo alcuni esempi applicativi, ma occorre prestare attenzione: il rapporto aureo non è presentato esattamente in nessuno di questi casi. Ciò che esiste sono analisi di diversi contesti in cui il numero aureo appare cosìapprossimativo.
Rapporto aureo in architettura
Alcuni studi affermano che le stime del numero di oro si osservano in determinati rapporti delle dimensioni della Piramide di Cheope, in Egitto, e dell'edificio della sede delle Nazioni Unite, a New York.
Rapporto aureo nel corpo umano
Le misure del corpo umano variano da persona a persona e non esiste un tipo di corpo perfetto. Tuttavia, almeno dall'Antica Grecia, si è discusso di un corpo matematicamente ideale (e totalmente irraggiungibile nella realtà), con misure legate alla sezione aurea. In questo contesto teorico, ad esempio, il rapporto tra l'altezza di una persona e la distanza tra il suo ombelico e il suolo sarebbe il numero aureo.
rapporto aureo nell'arte
Esistono ricerche sulle opere “L'uomo vitruviano” e “La Gioconda”, dell'italiano Leonardo da Vinci, che suggeriscono la uso di rettangoli aurei.
Rapporto aureo in natura
Ci sono studi che indicano a relazione tra il rapporto aureo e il modo in cui sono distribuite le foglie di alcune piante su uno stelo. Questa disposizione delle foglie è chiamata fillotassi.
Rapporto aureo nel design
Il rapporto aureo è anche studiato e utilizzato nell'area del design come a strumento di composizione del progetto.
Esercizi risolti sulla sezione aurea
domanda 1
(Enem) Un segmento di linea è diviso in due parti nel rapporto aureo quando il tutto sta a una delle parti nello stesso rapporto in cui questa parte sta all'altra. Questa costante di proporzionalità è comunemente rappresentata dalla lettera greca ϕ, e il suo valore è dato dalla soluzione positiva dell'equazione ϕ2 = ϕ+1.
Proprio come il potere \(ϕ^2\), le potenze superiori di ϕ possono essere espresse nella forma \(aϕ+b\), dove a e b sono numeri interi positivi, come mostrato nella tabella.
la potenza \(ϕ^7\), scritto nella forma aϕ+b (a e b sono numeri interi positivi), is
a) 5ϕ+3
b) 7ϕ+2
c) 9ϕ+6
d) 11ϕ+7
e) 13ϕ+8
Risoluzione
COME \(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6\), Dobbiamo
\(ϕ^7=ϕ⋅ϕ^6 = ϕ⋅(8ϕ+5)\)
Applicando la distributiva,
\(ϕ^7=8ϕ^2+5ϕ\)
COME \(ϕ^2=ϕ+1\),
\(ϕ^7=8⋅(ϕ+1)+5ϕ\)
\(ϕ^7=13ϕ+8\)
Alternativa E.
Domanda 2
Valuta ogni affermazione qui sotto relativa al numero aureo come T (vero) o F (falso).
io. Il numero aureo ϕ è irrazionale.
II. I quozienti tra ogni termine e il suo predecessore nella sequenza di Fibonacci si avvicinano al valore di ϕ.
III. 1,618 è l'arrotondamento alla terza cifra decimale del numero aureo ϕ.
La sequenza corretta, dall'alto verso il basso, è
a) V-V-V
b) F-V-F
c) V-F-V
d) F-FF-F
e) F-V-V
Risoluzione
io. VERO.
II. VERO.
III. VERO.
Alternativa A.
Fonti
FRANCESCO, S.V. da l. Tra il fascino e la realtà della sezione aurea. Tesi (Laurea Magistrale Professionale in Matematica in Rete Nazionale) – Istituto di Bioscienze, Lettere e Scienze Esatte, Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho. San Paolo, 2017. Disponibile in: http://hdl.handle.net/11449/148903.
VENDITE, J. da s. Il rapporto aureo presente in natura. Completamento del lavoro del corso (Laurea in Matematica), Istituto Federale di Educazione, Scienza e Tecnologia di Piauí. Piauí, 2022. Disponibile in http://bia.ifpi.edu.br: 8080/jspui/maniglia/123456789/1551.
Di Maria Luiza Alves Rizzo
Insegnante di matematica
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