bisettrice e il linea perpendicolare ad un segmento che interseca il suo punto medio. Possiamo costruire la bisettrice perpendicolare di un segmento usando righello e compasso. Su un triangolo, le bisettrici sono linee perpendicolari ai lati che contengono i loro punti medi. Quindi, un triangolo ha tre bisettrici perpendicolari. Il punto in cui si incontrano queste bisettrici si chiama circocentro e costituisce il centro del cerchio circoscritto al triangolo.
Leggi anche: Distanza tra due punti: il percorso più breve tra due punti nel piano cartesiano
Riassunto sulla bisettrice perpendicolare
La bisettrice è la Dritto perpendicolare a un segmento passante per il punto medio.
I punti di una bisettrice perpendicolare sono equidistanti dagli estremi del segmento.
La bisettrice perpendicolare può essere costruita con righello e compasso.
L'equazione di una bisettrice perpendicolare può essere determinata in base alle coordinate dei punti finali del segmento.
Un triangolo ha tre bisettrici perpendicolari, una rispetto a ciascun lato.
Il punto di intersezione delle bisettrici di un triangolo si chiama circocentro. Questo punto è il centro del cerchio circoscritto del triangolo.
La bisettrice di un triangolo differisce dalla mediana, dalla bisettrice e dall'altezza di un triangolo.
Cos'è la mediatrice?
Dato un segmento, la bisettrice perpendicolare è la retta perpendicolare al segmento che intercetta il tuo punto medio.
Una conseguenza importante di questa definizione è che tutti i punti su una bisettrice perpendicolare sono alla stessa distanza dai punti finali del segmento. In simbologia matematica, se AB è un segmento e il punto P appartiene alla bisettrice, allora PA = PB.
Come costruire la bisettrice?
Per costruire la bisettrice perpendicolare di un segmento, ci servono solo righello e compasso. I passaggi per la costruzione sono i seguenti:
Passo 1: Dato un segmento AB, apri il compasso con una lunghezza maggiore della metà del segmento. Suggerimento: una possibilità è quella di utilizzare la lunghezza del segmento stesso.
Passo 2: disegnane uno circonferenza con centro ad un estremo del segmento e raggio con la misura scelta al passo 1.
Passaggio 3: Ripetere il passaggio 2 per l'altra estremità del segmento.
Passaggio 4: Unisci i punti di intersezione dei cerchi con il righello.
Come trovare l'equazione della bisettrice?
Poiché la bisettrice perpendicolare è una retta, possiamo determinare a equazione che descrive i tuoi punti, essere R la linea che contiene un segmento AB dato via, S la bisettrice di questo segmento e P (x, y) qualsiasi punto sulla bisettrice perpendicolare.
Supponendo che le coordinate dei punti UN È B sono noti, possiamo ottenere il coefficiente angolare N del rettilineo R. COME R È S sono perpendicolari, la pendenza M del rettilineo S (la bisettrice perpendicolare) può anche essere trovata, in quanto è l'opposto dell'inverso moltiplicativo di N. Usando l'espressione per l'equazione fondamentale della retta, \(y-y_0=m (x-x_0 )\), su cosa \(M(x\_0,y\_0)\) è il punto medio di AB, abbiamo completato l'equazione della bisettrice.
Esempio:
Determina l'equazione della bisettrice del segmento determinato dai punti A(1,2) e B(3,6).
Risoluzione:
Per prima cosa, prendiamo la pendenza N del rettilineo R che contiene il segmento AB:
\(n_r=\frac{Δ y}{Δ x}=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}2 =2\)
Ora cerchiamo il punto medio M del segmento AB:
\(M(x_0,y_0 )=M(\frac{1+3}{2},\frac{2+6}{2})=M(2,4)\)
Ricorda che la bisettrice perpendicolare S voluto è perpendicolare alla linea R (che contiene il segmento AB). Quindi, il coefficiente angolare M del rettilineo S e il coefficiente angolare N del rettilineo R sono correlati come segue:
\(m_s=\frac{-1}{n_r} \)
Perciò, \( m_s=\frac{-1}2\).
Infine, usiamo l'equazione fondamentale della retta per determinare la bisettrice s, una retta che ha pendenza uguale a \(-\frac{1}2\) e passa per il punto (2,4):
\(y-y_0=m\cdot (x-x_0 )\)
\(y-4=-\frac{1}2\cdot (x-2)\)
\(y=-\frac{1}2 x+5\)
bisettrice di un triangolo
I tre lati di un triangolo sono segmenti di linea. Pertanto, il termine "bisettrice di un triangolo" si riferisce alla bisettrice di uno dei lati di questa figura geometrica. Perciò, il triangoloha tre bisettrici. Vedi sotto:
Il punto in cui si incontrano le bisettrici di un triangolo si chiama circocentro., poiché è il centro del cerchio circoscritto al triangolo (cioè il cerchio che passa per i tre vertici del triangolo).
Importante:Poiché il circocentro è un punto comune alle tre bisettrici perpendicolari, la sua distanza da ciascuno dei vertici è la stessa. In simbologia matematica, se D è il circocentro del triangolo ABC, Poi \(AD=BD=CD\).
Differenze tra bisettrice, mediana, bisettrice e altezza di un triangolo
Bisettrice, mediana, bisettrice e altezza di un triangolo sono concetti diversi. Diamo un'occhiata a ciascuno individualmente e poi insieme.
Bisettrice di un triangolo: è la linea perpendicolare a uno dei lati che interseca il suo punto medio.
Mediana di un triangolo: è il segmento con estremi in un vertice del triangolo e nel punto medio del lato opposto al vertice.
Bisettrice di un triangolo: è il segmento che divide a metà uno dei angoli lati del triangolo, con estremi in uno dei vertici e sul lato opposto.
Altezza di un triangolo: è il segmento perpendicolare a uno dei lati con estremità all'angolo opposto al lato.
Nell'immagine seguente si evidenzia, rispetto al segmento BC del triangolo, l'altezza (linea tratteggiata arancione), la bisettrice (linea tratteggiata in viola), la mediana (linea tratteggiata in verde) e la bisettrice perpendicolare (linea continua in rosso).
Importante: Su un triangolo equilatero, cioè che ha i tre lati ei tre angoli uguali, le bisettrici, le mediane, le bisettrici e le altezze coincidono. Di conseguenza, il punti notevoli di un triangolo (circumcentro, baricentro, incentro e ortocentro) coincidono. Nell'immagine sottostante si evidenziano, in relazione al segmento BC, la bisettrice, la mediana, la bisettrice e l'altezza in una linea nera continua. Il punto evidenziato E è quindi circocentro, baricentro, incentro e ortocentro del triangolo ABC.
Vedi anche: Relazioni metriche nel triangolo equilatero inscritto: cosa sono?
Esercizi risolti sulla bisettrice
domanda 1
Considera le seguenti affermazioni.
io. La bisettrice di un triangolo è il segmento che parte da un vertice e attraversa il punto medio del lato opposto.
II. Il punto in cui si incontrano le bisettrici di un triangolo si chiama circocentro. Questo punto è il centro del cerchio circoscritto al triangolo ed equidistante dai vertici.
III. La bisettrice di un segmento è la retta perpendicolare che interseca il segmento nel punto medio.
Quale alternativa contiene quella/e corretta/e?
A) Io, solo.
B) II, solo.
C) III, solo.
D) I e II.
E) II e III.
Risoluzione:
Alternativa E
L'affermazione I è l'unica errata, in quanto descrive la mediana di un triangolo.
Domanda 2
(Enem — adattato) Negli ultimi anni la televisione ha subito una vera e propria rivoluzione in termini di qualità dell'immagine, sonoro e interattività con lo spettatore. Questa trasformazione è dovuta alla conversione del segnale analogico in segnale digitale. Tuttavia, molte città non dispongono ancora di questa nuova tecnologia. Cercando di portare questi benefici a tre città, un'emittente televisiva intende costruire una nuova torre di trasmissione che invii un segnale alle antenne A, B e C, già esistenti in queste città. Le posizioni dell'antenna sono rappresentate nel piano cartesiano:
La torre deve essere posizionata equidistante dalle tre antenne. Il luogo adatto per la costruzione di questa torre corrisponde al punto di coordinate
A) (65, 35).
B) (53, 30).
C) (45, 35).
D) (50, 20).
E) (50, 30).
Risoluzione:
Alternativa E
Si noti che la posizione della torre deve essere il circocentro del triangolo formato dai punti A, B e C, in quanto è la posizione equidistante delle tre antenne.
Le coordinate per la torre T sono\( (x_t, y_t )\). Poiché T appartiene alla bisettrice di AB (data dalla retta x = 50), la posizione orizzontale della torre deve essere \(x_t=50\).
Per determinare la coordinata orizzontale \(y_t\) della torre, possiamo usare due volte l'espressione per la distanza tra due punti. Essendo la torre equidistante, ad esempio, dai vertici A e C (AT = CT), si ha:
\(\sqrt{(30-50)^2+(20-y_t )^2}=\sqrt{(60-50)^2+(50-y_t )^2}\)
Semplificando, otteniamo \(y_t=30\).
Di Maria Luiza Alves Rizzo
Insegnante di matematica