UN zona diamante è la misura della sua regione interna. Un modo per calcolare l'area di un rombo è determinare la metà del prodotto tra la diagonale maggiore e la diagonale minore, le cui misure sono rappresentate da D È D rispettivamente.
Leggi anche: Come calcolare l'area di un quadrato?
Riassunto sull'area del rombo
Un rombo è un parallelogramma con quattro lati congruenti e angoli congruenti opposti.
Le due diagonali di un rombo sono note come diagonale maggiore (D) e diagonale minore (D).
Ogni diagonale di un rombo divide quel poligono in due triangoli congruenti.
Le due diagonali del rombo sono perpendicolari e si intersecano nei loro punti medi.
La formula per calcolare l'area del rombo è:
\(A=\frac{D\times d}{2}\)
elementi a rombo
il diamante è un parallelogramma formato da quattro lati di uguale lunghezza e angoli opposti della stessa misura. Nel diamante sottostante, abbiamo \(\overline{PQ}=\overline{QR}=\overline{RS}=\overline{SP}\), \(\cappello{P}=\cappello{R}\) È \(\cappello{Q}=\cappello{S}\).
I segmenti con estremità ai vertici opposti sono le diagonali del rombo. Nell'immagine qui sotto, chiamiamo il segmento \(\overline{PR}\) In diagonale maggiore e il segmento \(\overline{QS}\) In diagonale minore.
Proprietà diagonali del rombo
Conosciamo due proprietà relative alle diagonali del rombo.
Proprietà 1: Ogni diagonale divide il rombo in due triangoli isosceli congruenti.
Considera prima la diagonale maggiore \(\overline{PR}\) di un rombo PQRS accanto l.
capito che \(\overline{PR}\) Dividi il rombo in due triangoli: PQR È PSR. Ancora:
\(\overline{PQ}=\overline{PS}=l\)
\(\overline{QR}=\overline{SR}=l\)
\(\overline{PR}\) è lato comune.
Pertanto, per il criterio LLL, i triangoli PQR È PSR sono congruenti.
Ora considera la diagonale più piccola \(\overline{QS}\).
capito che \(\overline{QS} \) Dividi il rombo in due triangoli: PQS È RQS. Ancora:
\(\overline{PQ}=\overline{RQ}=l\)
\(\overline{PS}=\overline{RS}=l\)
\(\overline{QS}\) è lato comune.
Quindi, secondo il criterio LLL, i triangoli PQS È RQS sono congruenti.
Proprietà 2: Le diagonali di un rombo sono perpendicolari e si intersecano nel punto medio l'una dell'altra.
L'angolo formato dalle diagonali \(\overline{PR}\) È \(\overline{QS}\) misura 90°.
ÈO punto di incontro delle diagonali \(\overline{{PR}}\) È \(\overline{{QS}}\); come questo, O è il punto medio di \(\overline{PR}\) ed è anche il punto medio di \(\overline{QS}\). Se \( \overline{PR}\)dammi D È \(\overline{QS}\) dammi D, Ciò significa che:
\(\overline{PO}=\overline{OR}=\frac{D}{2}\)
\(\overline{QO}=\overline{OS}=\frac{d}{2}\)
Osservazione: Le due diagonali di un rombo dividono questa figura in quattro triangoli rettangoli congruenti. considera i triangoli PQO, RQO, POS È RSO. Si noti che ognuno ha un lato di misurazione. l (l'ipotenusa), uno di misura \(\frac{D}{2}\) e un'altra misura \(\frac{d}{2}\).
Vedi anche: Confronto e somiglianza tra triangoli
Formula dell'area del rombo
È D la lunghezza della diagonale maggiore e D la misura della diagonale minore di un rombo; La formula per l'area del rombo è:
\(A=\frac{D\times d}{2}\)
Di seguito è riportata una dimostrazione di questa formula.
Secondo la prima proprietà che abbiamo studiato in questo testo, la diagonale \(\overline{QS}\) dividere il diamante PQRS in due triangoli congruenti (PQS È RQS). Ciò significa che questi due triangoli hanno la stessa area. Di conseguenza, l'area del rombo è il doppio dell'area di uno di questi triangoli.
\(A_{\mathrm{diamante}}=2\times A_{triangolo} PQS\)
Secondo la seconda proprietà che abbiamo studiato, la base del triangolo PQS dammi D e le misure di altezza D2. Ricorda che l'area di un triangolo può essere calcolata da base×altezza2. Presto:
\(A_{\mathrm{diamante}}=2\times A_{triangolo} PQS\)
\(A_{\mathrm{diamante}}=2\times\left(\frac{d\times\frac{D}{2}}{2}\right)\)
\(A_{\mathrm{diamante}}=2\times\left(\frac{d\times\frac{D}{2}}{2}\right)\)
\(A_{\mathrm{diamante}}=\frac{D\times d}{2}\)
Come calcolare l'area di un rombo?
Come abbiamo visto, se si informano le misure delle diagonali, è sufficiente applica la formula per calcolare l'area di un rombo:
\(A=\frac{D\times d}{2}\)
Altrimenti occorre adottare altre strategie, considerando ad esempio le proprietà di questo poligono.
Esempio 1: Qual è l'area di un rombo le cui diagonali misurano 2 cm e 3 cm?
Applicando la formula, abbiamo:
\(A_{\mathrm{diamante}}=\frac{D\times d}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamante}}=\frac{3\times2}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamante}}=3 cm²\)
Esempio 2: Qual è l'area di un rombo il cui lato e la diagonale minore misurano, rispettivamente, 13 cm e 4 cm?
Osservando la proprietà 2, le diagonali di un rombo dividono questo poligono in quattro triangoli rettangoli congruente. Ogni triangolo rettangolo ha i cateti di misura \(\frac{d}{2}\) È \(\frac{D}{2}\) e misurare l'ipotenusa l. Per il teorema di Pitagora:
\(l^2=\sinistra(\frac{d}{2}\destra)^2+\sinistra(\frac{D}{2}\destra)^2\)
sostituzione \(d=4cm\) È g=4 cm, dobbiamo
\(\left(\sqrt{13}\right)^2=\left(\frac{4}{2}\right)^2+\left(\frac{D}{2}\right)^2\ )
\(13=4+\frac{D^2}{4}\)
\(D^2=36\)
COME D è la misura di un segmento, possiamo considerare solo il risultato positivo. Cioè:
RE=6
Applicando la formula, abbiamo:
\(A_{\mathrm{diamante}}=\frac{D\times d}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamante}}=\frac{6\times4}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamante}}=\ 12 cm²\)
Saperne di più: Formule utilizzate per calcolare l'area delle figure piane
Esercizi sull'area del rombo
domanda 1
(Fauel) In un rombo le diagonali misurano 13 e 16 cm. Qual è la misura della tua area?
a) 52 cm²
b) 58 cm²
c) 104 cm²
d) 208 cm²
e) 580 cm²
Risoluzione: alternativa c
Applicando la formula, abbiamo:
\(A_{\mathrm{diamante}}=\frac{D\times d}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamante}}=\frac{16\times13}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamante}}=\ 104 cm²\)
Domanda 2
(Fepese) Una fabbrica produce ceramiche a forma di diamante, la cui diagonale minore misura un quarto della diagonale maggiore e la diagonale maggiore misura 84 cm.
Pertanto, l'area di ogni pezzo di ceramica prodotto da questa fabbrica, in metri quadrati, è:
a) maggiore di 0,5.
b) maggiore di 0,2 e minore di 0,5.
c) maggiore di 0,09 e minore di 0,2.
d) maggiore di 0,07 e minore di 0,09.
e) inferiore a 0,07.
Risoluzione: alternativa d
Se D è la diagonale maggiore e D è la diagonale minore, allora:
\(d=\frac{1}{4}D\)
\(d=\frac{1}{4}\cdot84\)
\(d=21cm\)
Applicando la formula, abbiamo
\(A_{\mathrm{diamante}}=\frac{D\times d}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamante}}=\frac{84\times21}{2}\)
\(A_{\mathrm{diamante}}=882 cm²\)
Come corrisponde a 1 cm² \(1\cdot{10}^{-4} m²\), Poi:
\(\frac{1\ cm^2}{882\ cm^2}=\frac{1\cdot{10}^{-4}\ m^2}{x}\)
\(x=0,0882 mq\)
Di Maria Luiza Alves Rizzo
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/area-do-losango.htm