O deviazione standard è una misura della dispersione, così come la varianza e il coefficiente di variazione. Quando si determina la deviazione standard, è possibile stabilire un intervallo attorno alla media aritmetica (divisione tra la somma dei numeri in un elenco e il numero di numeri aggiunti) dove è concentrata la maggior parte dei dati. Maggiore è il valore della deviazione standard, maggiore è la variabilità dei dati, ovvero maggiore è lo scostamento dalla media aritmetica.
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Riepilogo della deviazione standard
- La deviazione standard è una misura della variabilità.
- La notazione della deviazione standard è la lettera greca minuscola sigma (σ) o la lettera s.
- La deviazione standard viene utilizzata per verificare la variabilità dei dati intorno alla media.
- La deviazione standard determina un intervallo \(\sinistra[\mu-\sigma,\mu+\sigma\destra]\), dove si trova la maggior parte dei dati.
- Per calcolare la deviazione standard, dobbiamo trovare la radice quadrata della varianza:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\sinistra (x_i-\mu\destra)^2}{N}}\)
Cos'è la deviazione standard?
La deviazione standard è a misura di dispersione adottata in Statistica. Il suo utilizzo è legato a interpretazione della varianza, che è anche una misura della dispersione.
In pratica, la deviazione standard determina un intervallo, centrato sulla media aritmetica, in cui è concentrata la maggior parte dei dati. Pertanto, maggiore è il valore della deviazione standard, maggiore è l'irregolarità dei dati (maggiori informazioni eterogeneo), e minore è il valore della deviazione standard, minore è l'irregolarità dei dati (maggiori informazioni omogeneo).
Come calcolare la deviazione standard?
Per calcolare la deviazione standard di un set di dati, dobbiamo trovare la radice quadrata della varianza. Quindi, la formula per calcolare la deviazione standard è
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\sinistra (x_i-\mu\destra)^2}{N}}\)
- \(x_1,x_2,x_3,\ldots, x_N\) → dati coinvolti.
- μ → media aritmetica dei dati.
- N → quantità di dati.
- \( \sum_{i=1}^{N}\sinistra (x_i-\mu\destra)^2\ =\ \sinistra (x_1-\mu\destra)^2+\sinistra (x_2-\mu\destra )^2+\sinistra (x_3-\mu\destra)^2+...+\sinistra (x_N-\mu\destra)^2 \)
L'ultimo elemento, che si riferisce al numeratore del radicando, indica la somma dei quadrati della differenza tra ogni dato e la media aritmetica. si prega di notare che l'unità di misura della deviazione standard è la stessa unità di misura dei dati X1,X2,X3,…,XNO.
Sebbene la scrittura di questa formula sia un po' complessa, la sua applicazione è più semplice e diretta. Di seguito è riportato un esempio di come utilizzare questa espressione per calcolare la deviazione standard.
- Esempio:
Per due settimane, in una città sono state registrate le seguenti temperature:
Settimana/Giorno |
Domenica |
Secondo |
Terzo |
Il quarto |
Quinto |
Venerdì |
Sabato |
settimana 1 |
29°C |
30°C |
31°C |
31,5°C |
28°C |
28,5°C |
29°C |
settimana 2 |
28,5°C |
27°C |
28°C |
29°C |
30°C |
28°C |
29°C |
In quale delle due settimane la temperatura è rimasta più regolare in questa città?
Risoluzione:
Per analizzare la regolarità della temperatura, dobbiamo confrontare le deviazioni standard delle temperature registrate nelle settimane 1 e 2.
- Diamo prima un'occhiata alla deviazione standard per la settimana 1:
Si noti che la media μ1 È NO1 sono
\(\mu_1=\frac{29+30+31+31.5+28+28.5+29}{7}\circa29.57\)
\(N_1=7 \) (7 giorni su 7)
Inoltre, dobbiamo calcolare il quadrato della differenza tra ciascuna temperatura e la temperatura media.
\(\sinistra (29-29.57\destra)^2=0.3249\)
\(\sinistra (30-29.57\destra)^2=0.1849\)
\(\sinistra (31-29.57\destra)^2=2.0449\)
\(\sinistra (31,5-29,57\destra)^2=3,7249\)
\(\sinistra (28-29.57\destra)^2=2.4649\)
\(\sinistra (28,5-29,57\destra)^2=1,1449\)
\(\sinistra (29-29.57\destra)^2=0.3249\)
Sommando i risultati, abbiamo che il numeratore del radicando nella formula della deviazione standard è
\(0,3249\ +\ 0,1849\ +2,0449+3,7249+2,4649+1,1449+0,3249\ =\ 10,2143\)
Quindi la deviazione standard della settimana 1 è
\(\sigma_1=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\sinistra (x_i-\mu_1\right)^2}{N_1}}=\sqrt{\frac{10,2143} {7}}\ \circa1.208\ °C\)
Nota: questo risultato significa che la maggior parte delle temperature della settimana 1 si trova nell'intervallo [28,36 °C, 30,77 °C], ovvero l'intervallo \(\sinistra[\mu_1-\sigma_1,\mu_1+\sigma_1\destra]\).
- Ora diamo un'occhiata alla deviazione standard della settimana 2:
Seguendo lo stesso ragionamento, abbiamo
\(\mu_2=\frac{28.5+27+28+29+30+28+29}{7}=28.5\)
\(N_2=7\)
\(\sinistra (28,5-28,5\destra)^2=0\)
\(\sinistra (27-28,5\destra)^2=2,25\)
\(\sinistra (28-28,5\destra)^2=0,25\)
\(\sinistra (29-28,5\destra)^2=0,25\)
\(\sinistra (30-28,5\destra)^2=2,25\)
\(\sinistra (28-28,5\destra)^2=0,25\)
\(\sinistra (29-28,5\destra)^2=0,25\)
\(0\ +\ 2,25\ +\ 0,25\ +\ 0,25+2,25+0,25+0,25\ =\ 5,5\)
Quindi la deviazione standard della settimana 2 è
\(\sigma_2=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\sinistra (x_i-\mu_1\right)^2}{N_2}}=\sqrt{\frac{5,5} {7}}\ \circa0.89\ °C\)
Questo risultato significa che la maggior parte delle temperature della settimana 2 rientra nell'intervallo \(\sinistra[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\destra]\), ovvero l'intervallo \(\sinistra[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\destra]\).
capito che \(\sigma_2, ovvero la deviazione standard della settimana 2 è inferiore alla deviazione standard della settimana 1. Pertanto, la settimana 2 ha presentato temperature più regolari rispetto alla settimana 1.
Quali sono i tipi di deviazione standard?
I tipi di deviazione standard sono correlati al tipo di organizzazione dei dati. Nell'esempio precedente, abbiamo lavorato con la deviazione standard dei dati non raggruppati. Per calcolare la deviazione standard di un insieme di dati altrimenti organizzati (dati raggruppati, ad esempio), è necessario modificare la formula.
Quali sono le differenze tra deviazione standard e varianza?
la deviazione standard è la radice quadrata della varianza:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\sinistra (x_i-\mu\destra)^2}{N}}\)
\(V=\frac{\sum_{i=1}^{N}\sinistra (x_i-\mu\destra)^2}{N}\)
Quando si utilizza la varianza per determinare la variabilità di un set di dati, il risultato ha l'unità di dati al quadrato, il che rende difficile la sua analisi. Pertanto, la deviazione standard, che ha la stessa unità dei dati, è un possibile strumento per interpretare il risultato della varianza.
Saperne di più:Frequenza assoluta: il numero di volte in cui la stessa risposta è apparsa durante la raccolta dei dati
Esercizi risolti sulla deviazione standard
domanda 1
(FGV) In una classe di 10 studenti, i voti degli studenti in una valutazione erano:
6 |
7 |
7 |
8 |
8 |
8 |
8 |
9 |
9 |
10 |
La deviazione standard di questo elenco è approssimativa
A) 0,8.
B) 0,9.
c) 1.1.
D) 1.3.
E) 1.5.
Risoluzione:
Alternativa C.
Secondo la dichiarazione, N = 10. La media di questo elenco è
\( \mu=\frac{6+7+7+8+8+8+8+9+9+10}{10}=8 \)
Inoltre,
\(\sinistra (6-8\destra)^2=4\)
\(\sinistra (7-8\destra)^2=1\)
\(\sinistra (8-8\destra)^2=0\)
\(\sinistra (9-8\destra)^2=1\)
\(\sinistra (10-8\destra)^2=4\)
\(4+1+1+0+0+0+0+1+1+4=12\)
Quindi la deviazione standard di questo elenco è
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10}\sinistra (x_i-8\destra)^2}{10}}=\sqrt{\frac{12}{10} }\circa1.1\)
Domanda 2
Considera le seguenti affermazioni e valuta ognuna come V (vero) o F (falso).
io. La radice quadrata della varianza è la deviazione standard.
II. La deviazione standard non ha alcuna relazione con la media aritmetica.
III. La varianza e la deviazione standard sono esempi di misure di dispersione.
L'ordine corretto, dall'alto verso il basso, è
A) V-V-F
B) FA-FA-V
C) F-V-F
D) F-FF-F
E) V-F-V
Risoluzione:
Alternativa E.
io. La radice quadrata della varianza è la deviazione standard. (VERO)
II. La deviazione standard non ha alcuna relazione con la media aritmetica. (falso)
La deviazione standard indica un intervallo attorno alla media aritmetica in cui ricade la maggior parte dei dati.
III. La varianza e la deviazione standard sono esempi di misure di dispersione. (VERO)
Di Maria Luiza Alves Rizzo
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/desvio-padrao.htm
