Una delle tecniche utilizzate per risolvere equazioni quadratiche è il metodo noto come quadrati completi. Questo metodo consiste nell'interpretare il equazione di secondogrado come un trinomio quadrato perfetto e scrivi la tua forma fattorizzata. A volte questa semplice procedura rivela già le radici dell'equazione.
Pertanto, è necessario avere conoscenze di base su prodotti degni di nota, trinomiopiazzaPerfetto e fattorizzazione polinomiale usare questa tecnica. Spesso, però, permette di fare calcoli “in testa”.
Pertanto, richiameremo i tre casi di prodottinotevole prima di dimostrare la metodocompletarepiazze, che, a sua volta, sarà esposto in tre diversi casi.
Prodotti eccezionali e trinomi quadrati perfetti
Successivamente, guarda il prodotto straordinario, il trinomiopiazzaPerfetto che è equivalente ad esso e alla forma fattorizzato di questo trinomio, rispettivamente. Per fare ciò, considera che x è sconosciuto e Il è un qualsiasi numero reale.
(x + k)2 = x2 + 2kx + k2 = (x + k)(x + k)
(x-k)2 = x2 – 2kx + k2 = (x - k)(x - k)
L'equazione di secondo grado riferita al terzo Prodottonotevole, noto come prodotto della somma e della differenza, può essere risolto utilizzando una tecnica che rende i calcoli ancora più semplici. Di conseguenza, non sarà considerato qui.
L'equazione è il trinomio quadrato perfetto
Se uno equazione di secondogrado è un trinomio quadrato perfetto, allora puoi identificare i suoi coefficienti come: a = 1, b = 2k o – 2k e c = k2. Per verificarlo, confronta un'equazione quadratica con a trinomiopiazzaPerfetto.
Pertanto, nella soluzione di equazione di secondogrado X2 + 2kx + k2 = 0, avremo sempre la possibilità di fare:
X2 + 2kx + k2 = 0
(x + k)2 = 0
[(x + k)2] = √0
|x + k| = 0
x + k = 0
x = - k
– x – k = 0
x = - k
Quindi, la soluzione è unica e uguale a –k.
Se equazione essere x2 – 2kx + k2 = 0, possiamo fare lo stesso:
X2 – 2kx + k2 = 0
(x-k)2 = 0
[(x - k)2] = √0
|x – k| = 0
x - k = 0
x = k
– x + k = 0
– x = – k
x = k
Pertanto, la soluzione è unica e uguale a k.
Esempio: Quali sono le radici di equazione X2 + 16x + 64 = 0?
Si noti che l'equazione è a trinomiopiazzaPerfetto, poiché 2k = 16, dove k = 8, e k2 = 64, dove k = 8. Quindi possiamo scrivere:
X2 + 16x + 64 = 0
(x + 8)2 = 0
[(x + 8)2] = √0
x + 8 = 0
x = – 8
Qui il risultato è stato semplificato, poiché sappiamo già che le due soluzioni saranno uguali allo stesso numero reale.
L'equazione non è un trinomio quadrato perfetto
Nei casi in cui il equazione di secondogrado non è un trinomio quadrato perfetto, possiamo considerare la seguente ipotesi per calcolarne i risultati:
X2 + 2kx + C = 0
Nota che affinché questa equazione si trasformi in a trinomiopiazzaPerfetto, basta sostituire il valore di C con il valore di k2. Poiché questa è un'equazione, l'unico modo per farlo è aggiungere k2 su entrambi i membri, quindi scambiando il coefficiente di membro C. Orologio:
X2 + 2kx + C = 0
X2 + 2kx + C + k2 = 0 + k2
X2 + 2kx + k2 = k2 -
Dopo questa procedura, possiamo procedere con la tecnica precedente, trasformando il trinomiopiazzaPerfetto in prodotto notevole e calcolando le radici quadrate su entrambi gli arti.
X2 + 2kx + k2 = k2 -
(x + k)2 = k2 -
[(x + k)2] = √(k2 - )
x + k = ± √(k2 - )
Il segno ± appare ogni volta che il risultato di a equazione è una radice quadrata, perché in questi casi il risultato della radice quadrata è a modulo, come mostrato nel primo esempio. Alla fine non resta che fare:
x = – k ± (k2 - )
Quindi, questi equazioni avere due risultati vero e distinto, o nessun risultato reale quando C > k2.
Per esempio, calcola le radici di x2 + 6x + 8 = 0.
Soluzione: Nota che 6 = 2·3x. Quindi k = 3 e quindi k2 = 9. Pertanto, il numero che dobbiamo aggiungere in entrambi i membri è uguale a 9:
X2 + 6x + 8 = 0
X2 + 6x + 8 + 9 = 0 + 9
X2 + 6x + 9 = 9 - 8
X2 + 6x + 9 = 1
(x + 3)2 = 1
[(x + 3)2] = ± √1
x + 3 = ± 1
x = ± 1 - 3
x' = 1 – 3 = – 2
x'' = – 1 – 3 = – 4
In tal caso il coefficiente a ≠ 1
quando il coefficiente Il, dà equazione di secondogrado, è diverso da 1, basta dividere l'intera equazione per il valore numerico del coefficiente Il per poi applicare uno dei due metodi precedenti.
Quindi, nell'equazione 2x2 + 32x + 128 = 0, abbiamo la radice univoca uguale a 8, perché:
2x2+ 32x + 128 = 0
2 2 2 2
X2 + 16x + 64 = 0
E, nell'equazione 3x2 + 18x + 24 = 0, abbiamo le radici – 2 e – 4, perché:
3x2 + 18x + 24 = 0
3 3 3 3
X2 + 6x + 8 = 0
Di Luiz Paulo Moreira
Laureato in Matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-metodo-completar-quadrados.htm