Studia con gli esercizi seno, coseno e tangente risolti. Esercitati e chiarisci i tuoi dubbi con gli esercizi commentati.
domanda 1
Determina i valori di xey nel triangolo seguente. Considera sin 37º = 0,60, coseno di 37º = 0,79 e tan 37º = 0,75.
Risposta: y = 10,2 m e x = 13,43 m
Per determinare y, utilizziamo il seno di 37º, che è il rapporto tra il lato opposto e l'ipotenusa. Vale la pena ricordare che l'ipotenusa è il segmento opposto all'angolo di 90º, quindi vale 17 m.
Per determinare x, possiamo usare il coseno di 37º, che è il rapporto tra il lato adiacente all'angolo di 37º e l'ipotenusa.
Domanda 2
Nel seguente triangolo rettangolo, determina il valore dell'angolo , in gradi, e relativi seno, coseno e tangente.
Ritenere:
peccato 28º = 0,47
cos 28º = 0,88
Rispondere: ,
In un triangolo la somma degli angoli interni è pari a 180°. Essendo un triangolo rettangolo c'è un angolo di 90º, quindi ci sono altri 90º a sinistra per i due angoli.
In questo modo abbiamo:
Poiché questi angoli sono complementari (da uno di essi, l'altro è quanto rimane per completare 90º), è valido che:
cos 62º = sin 28º = 0,47
e
sin 62º = cos 28º = 0,88
Calcolo tangente
La tangente è il rapporto tra seno e coseno.
Domanda 3
Ad una certa ora di una giornata di sole, l'ombra di una casa si proietta per 23 metri. Questo residuo fa 45º rispetto al suolo. In questo modo, determina l'altezza della casa.
Risposta: L'altezza della casa è di 23 m.
Per determinare un'altezza, conoscendo l'angolo di inclinazione, utilizziamo la tangente dell'angolo di 45°.
La tangente a 45° è uguale a 1.
La casa e l'ombra a terra sono le gambe di un triangolo rettangolo.
Pertanto, l'altezza della casa è di 23 m.
domanda 4
Un geometra è un professionista che utilizza conoscenze matematiche e geometriche per effettuare misurazioni e studiare una superficie. Utilizzando un teodolite, uno strumento che, tra le altre funzioni, misura gli angoli, posizionato a 37 metri lontano da un edificio, trovò un angolo di 60° tra un piano parallelo al suolo e l'altezza del costruzione. Se il teodolite era su un treppiede a 180 cm da terra, determinare l'altezza dell'edificio in metri.
ritenere
Risposta: L'altezza dell'edificio è di 65,81 m.
Facendo uno schizzo della situazione abbiamo:
Pertanto, l'altezza dell'edificio può essere determinata utilizzando la tangente di 60º, dall'altezza in cui si trova il teodolite, aggiungendo il risultato con 180 cm o 1,8 m, poiché è l'altezza da terra.
La tangente di 60° è uguale a .
Altezza dal teodolite
Altezza totale
64,01 + 1,8 = 65,81 m
L'altezza dell'edificio è di 65,81 m.
domanda 5
Determina il perimetro del pentagono.
Ritenere:
peccato 67° = 0,92
cos 67° = 0,39
abbronzatura 67° = 2,35
Risposta: Il perimetro è 219,1 m.
Il perimetro è la somma dei lati del pentagono. Essendo presente una parte rettangolare di 80 m, anche il lato opposto è lungo 80 m.
Il perimetro è dato da:
P = 10 + 80 + 80 + a + b
P = 170 + a + b
Essendo Il, parallelamente alla linea tratteggiata blu, possiamo determinarne la lunghezza utilizzando la tangente di 67°.
Per determinare il valore di b, utilizziamo il coseno di 67°
Quindi il perimetro è:
P = 170 + 23,5 + 25,6 = 219,1 m
domanda 6
Trova il seno e il coseno di 1110°.
Considerando il cerchio trigonometrico abbiamo che un giro completo ha 360°.
Quando dividiamo 1110° per 360° otteniamo 3,0833.... Ciò significa 3 giri completi e poco più.
Prendendo 360° x 3 = 1080° e sottraendo da 1110 abbiamo:
1110° - 1080° = 30°
Considerando positivo il senso antiorario, dopo tre giri completi si torna all'inizio, 1080° o 0°. Da questo punto avanziamo di altri 30°.
Quindi seno e coseno di 1110° sono uguali al seno e coseno di 30°
domanda 7
(CEDERJ 2021) Studiando per un test di trigonometria, Júlia ha appreso che sin² 72° è uguale a
1 - cos² 72°.
cos² 72° - 1.
tg² 72° - 1.
1 - tg² 72º.
La relazione fondamentale della trigonometria dice che:
Dove x è il valore dell'angolo.
Prendendo x = 72º e isolando il seno, abbiamo:
domanda 8
Le rampe sono un buon modo per garantire l'accessibilità agli utenti su sedia a rotelle e alle persone a mobilità ridotta. L'accessibilità agli edifici, agli arredi, agli spazi e alle attrezzature urbane è garantita dalla legge.
L'Associazione brasiliana delle norme tecniche (ABNT), in conformità con la legge brasiliana per l'inclusione delle persone con Invalidità (13.146/2015), regola la costruzione e definisce la pendenza delle rampe, nonché i calcoli per la loro costruzione. Le linee guida per il calcolo dell'ABNT indicano un limite massimo di pendenza dell'8,33% (rapporto 1:12). Ciò significa che una rampa, per superare un dislivello di 1 m, deve essere lunga almeno 12 m e questo definisce che l'angolo di inclinazione della rampa, rispetto al piano orizzontale, non può essere maggiore di 7°.
Secondo le informazioni precedenti, in modo che una rampa, con una lunghezza pari a 14 m e un'inclinazione di 7º in rispetto al piano, rientra nelle norme ABNT, deve servire a superare un varco di altezza massima di
Usa: sin 7° = 0,12; cos 7º = 0,99 e tan 7º = 0,12.
a) 1,2 m.
b) 1,32 m.
c) 1,4 m.
d) 1,56 m.
e) 1,68 m.
La rampa forma un triangolo rettangolo dove la lunghezza è di 14 m, formando un angolo di 7º rispetto all'orizzontale, dove l'altezza è il lato opposto all'angolo.
Usando il seno di 7°:
L'altezza che la rampa deve raggiungere è di 1,68 m.
domanda 9
(Unesp 2012) Un edificio ospedaliero è in costruzione su un terreno in pendenza. Per ottimizzare la costruzione, l'architetto responsabile ha progettato il parcheggio al piano interrato dell'edificio, con ingresso dalla strada secondaria del terreno. La reception dell'ospedale si trova a 5 metri sopra il livello del parcheggio, pertanto è necessaria la realizzazione di una rampa di accesso rettilinea per i pazienti con difficoltà motorie. La figura rappresenta schematicamente questa rampa (r), che collega il punto A, al piano reception, al punto B, al piano parcheggio, che deve avere un'inclinazione α minima di 30º e una massima di 45º.
In queste condizioni e considerando , quali dovrebbero essere i valori massimo e minimo, in metri, della lunghezza di questa rampa di accesso?
Risposta: La lunghezza della rampa di accesso sarà di 7 m minimo e 10 m massimo.
Il progetto già prevede e fissa l'altezza a 5 m. Dobbiamo calcolare la lunghezza della rampa, che è l'ipotenusa del triangolo rettangolo, per gli angoli di 30° e 45°.
Per il calcolo abbiamo utilizzato il seno dell'angolo, che è il rapporto tra il lato opposto, 5 m, e l'ipotenusa r, che è la lunghezza della rampa.
Per gli angoli notevoli 30° e 45° i valori di seno sono:
per 30°
a 45°
razionalizzare
Sostituendo il valore di
domanda 10
(EPCAR 2020) Di notte, un elicottero dell'aeronautica militare brasiliana sorvola una regione pianeggiante e avvista un UAV (Air Vehicle Unmanned) di forma circolare ed altezza trascurabile, con raggio di 3 m parcheggiata parallela al suolo a 30 m da altezza.
L'UAV si trova a una distanza di y metri da un proiettore che è stato installato sull'elicottero.
Il raggio di luce del proiettore che passa l'UAV cade sulla regione piatta e produce un'ombra circolare con centro O e raggio R.
Il raggio R della circonferenza dell'ombra forma un angolo di 60º con il raggio di luce, come si vede nella figura seguente.
In quel momento, una persona che si trova nel punto A sulla circonferenza dell'ombra corre verso il punto O, a piedi dalla perpendicolare tracciata dal riflettore alla regione piana.
La distanza, in metri, che questa persona percorre da A a O è un numero compreso tra
a) 18 e 19
b) 19 e 20
c) 20 e 21
d) 22 e 23
obbiettivo
Determina la lunghezza del segmento , raggio del cerchio dell'ombra.
Dati
- L'altezza da O all'UAV è di 30 m.
- Il raggio dell'UAV è di 3 m.
Utilizzando la tangente a 60° determiniamo la parte evidenziata in rosso nell'immagine seguente:
Considerando la tangente di 60° = e tangente essendo il rapporto tra il lato opposto all'angolo e il suo lato adiacente, abbiamo:
razionalizzare
La lunghezza AO è
avvicinandosi al valore di
La misura approssimativa del segmento AO è di 20,3 m, cioè un valore compreso tra 20 e 21.
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