IL Il teorema della bisettrice interna è stato sviluppato appositamente per triangoli e mostra che quando tracciamo la bisettrice interna di un angolo del triangolo, il punto di incontro della bisettrice con il lato opposto divide quel lato in segmenti di linea proporzionale ai lati adiacenti di quell'angolo. Con l'applicazione del teorema della bisettrice interna è possibile determinare il valore del lato o dei segmenti del triangolo utilizzando la proporzione tra di loro.
Vedi anche: Mediana, bisettrice dell'angolo e altezza di un triangolo: qual è la differenza?
Riassunto sul teorema della bisettrice interna:
La bisettrice è a raggio che divide l'angolo in due angoli congruenti.
Il teorema della bisettrice interna è specifico dei triangoli.
Questo teorema dimostra che la bisettrice divide il lato opposto in segmenti proporzionali ai lati adiacenti angolo.
Video lezione sul teorema della bisettrice interna
Qual è il teorema della bisettrice?
Prima di capire cosa dice il teorema della bisettrice interna, è importante sapere cos'è
bisettrice di un angolo. È un raggio che divide l'angolo in due parti congruenti., cioè due parti che hanno la stessa misura.
Comprendendo cos'è la bisettrice, notiamo che esiste all'angolo interno di un triangolo. Quando delineiamo la bisettrice di un angolo del triangolo, dividerà il lato opposto in due segmenti. Per quanto riguarda la bisettrice interna, il suo teorema dice che i due segmenti da esso divisi sono proporzionali ai lati adiacenti dell'angolo.
Si noti che la bisettrice divide il lato AC in due segmenti, AD e DC. Il teorema di bisettrice lo mostra:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\)
Saperne di più: Teorema di Pitagora — un altro teorema sviluppato per i triangoli
Dimostrazione del teorema della bisettrice interna
Nel triangolo ABC in basso, demarcaremo il segmento BD, che è la bisettrice di questo triangolo. Tracceremo inoltre il prolungamento del suo lato CB e del segmento AE, parallelo a BD:
L'angolo AEB è congruente all'angolo DBC, perché CE è a dritto trasversale ai segmenti paralleli AE e BD.
applicando il Teorema di Talete, abbiamo concluso che:
\(\frac{\overline{BE}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Ora noi resta da dimostrare che BE = AB.
Poiché x è la misura dell'angolo ABD e DBC, analizzando l'angolo ABE si ottiene:
AB = 180 - 2x
Se y è la misura dell'angolo EAB, abbiamo la seguente situazione:
Sappiamo che il somma degli angoli interni del triangolo ABE è 180°, quindi possiamo calcolare:
180 - 2x + x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Se l'angolo x e l'angolo y hanno la stessa misura, lo è il triangolo ABE isoscele. Pertanto, il lato AB = AE.
Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre uguale a 180°, nel triangolo ACE abbiamo:
x + 180 - 2x + y = 180
– x + y = 180 – 180
– x + y = 0
y = x
Poiché y = x, il triangolo ACE è isoscele. Pertanto, i segmenti AE e AC sono congruenti. Scambiare AE per AC in Motivo, si dimostra che:
\(\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{DC}}\)
Esempio:
Trova il valore di x nel triangolo seguente:
Analizzando il triangolo, otteniamo il seguente rapporto:
\(\frac{6}{3}=\frac{8}{x}\)
Moltiplicazione incrociata:
6x = 8 ⋅ 3
6x = 24
\(x=\frac{24}{6}\)
x = 4
Leggi anche: Punti notevoli di un triangolo: cosa sono?
Risolti esercizi sul teorema della bisettrice interna
domanda 1
Osservando il triangolo sottostante, possiamo dire che il valore di x è:
a) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
Risoluzione:
Alternativa D
Applicando il teorema della bisettrice interna, otteniamo il seguente calcolo:
\(\frac{27}{30-x}=\frac{18}{x}\)
Moltiplicazione incrociata:
\(27x=18\ \sinistra (30-x\destra)\)
\(27x\ =\ 540\ -\ 18x\ \)
\(27x\ +\ 18x\ =\ 540\ \)
\(45x\ =\ 540\ \)
\(x=\frac{540}{45}\)
\(x\ =\ 12\)
Domanda 2
Analizza il triangolo seguente, sapendo che le tue misure sono state espresse in centimetri.
Il perimetro del triangolo ABC è uguale a:
A) 75 cm
B) 56 cm
C) 48 cm
D) 24 cm
E) 7,5 cm
Risoluzione:
Alternativa C
Applicando il teorema della bisettrice, troveremo prima il valore di x:
\(\frac{2x}{5}=\frac{4x-9}{7}\)
\(5\ \sinistra (4x-9\destra)=2x\cdot7\)
\(20 volte\ -\ 45\ =\ 14 volte\)
\(20 volte\ -\ 14 volte\ =\ 45\ \)
\(6x\ =\ 45\ \)
\(x=\frac{45}{6}\)
\(x\ =\ 7.5\)
Pertanto, i lati sconosciuti misurano:
\(2\cdot7,5\ =\ 15\ \)
\(4\cdot7,5\ -\ 9\ =\ 21\ \)
Ricordando che il lunghezza del calibro usato era il cm, il perimetro di questo triangolo è uguale a:
P = 21 + 15 + 5 + 7 = 48 cm
Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/teorema-da-bissetriz-interna.htm