Esagono è il poligono che ha 6 lati. È regolare quando tutti i lati e gli angoli interni sono congruenti tra loro. È irregolare quando non ha queste caratteristiche. Il primo caso è il più studiato, perché quando l'esagono è regolare ha proprietà e formule specifiche che ci permettono di calcolarne area, perimetro e apotema.
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Riassunto sull'esagono
L'esagono è un poligono a 6 lati.
È regolare quando tutti i lati sono congruenti.
È irregolare quando tutti i lati non sono congruenti.
In un esagono regolare, ogni angolo interno misura 120°.
La somma di angoli i bordi esterni di un esagono regolare sono sempre 360°.
Per calcolare l'area di un esagono regolare, utilizziamo la formula:
\(LA=\frac{3L^2\sqrt3}{2}\)
o perimetro di un esagono è la somma dei suoi lati. Quando è regolare, abbiamo:
P = 6L
L'apotema di un esagono regolare si calcola con la formula:
\(a=\frac{\sqrt3}{2}L\)
Cos'è l'esagono?
L'esagono è qualsiasi poligono che ha 6 lati, quindi 6 vertici e 6 angoli. Essendo un poligono, è una figura piatta chiusa con i lati che non si intersecano. L'esagono è una forma ricorrente in natura, come nei favi, nelle strutture del
chimica organica, nei gusci di alcune tartarughe e nei fiocchi di neve.Lezione video sui poligoni
elementi esagonali
Un esagono è composto da 6 lati, 6 vertici e 6 angoli interni.
Vertici: punti A, B, C, D, E, F.
lati: i segmenti \(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DE},\overline{EF},\ \overline{AF}\).
Angoli interni: angoli a, b, c, d, f.
Classificazione degli esagoni
Gli esagoni, come altri poligoni, possono essere classificati in due modi.
esagono regolare
L'esagono è regolare quando lo è tutti i suoi lati congruenti — di conseguenza, anche i loro angoli saranno congruenti. L'esagono regolare è il più importante di tutti, essendo il più studiato. È possibile calcolarne diversi aspetti, come l'area, con formule specifiche.
Osservazione: L'esagono regolare può essere diviso in 6 triangoli equilateri, cioè triangoli con tutti i lati uguali.
→ esagono irregolare
L'esagono irregolare è quello che ha lati con misure diverse. Può essere convesso o non convesso.
esagono irregolare convesso
l'esagono è convesso quando hai tutto il angoli interni inferiori a 180°.
→ Esagono irregolare non convesso
Un esagono non è convesso quando lo è angoli interni maggiori di 180°.
proprietà dell'esagono
→ Numero di diagonali in un esagono
La prima proprietà importante è quella in un esagono convesso ci sono sempre 9 diagonali. Possiamo trovare queste 9 diagonali geometricamente:
Possiamo anche trovare le diagonali algebricamente, usando la seguente formula:
\(d=\frac{n\sinistra (n-3\destra)}{2}\)
Se sostituiamo 6 nell'equazione, abbiamo:
\(d=\frac{6\cdot\sinistra (6-3\destra)}{2}\)
\(d=\frac{6\cdot3}{2}\)
\(d=\frac{18}{2}\)
\(d=9\)
Quindi un esagono convesso avrà sempre 9 diagonali.
Saperne di più: Blocco rettangolare diagonale: segmento che collega due dei suoi vertici che non si trovano sulla stessa faccia
→ Angoli interni di un esagono
In un esagono, il la somma dei suoi angoli interni è 720°. Per eseguire questa somma, sostituisci semplicemente 6 nella formula:
\(S_i=180\sinistra (n-2\destra)\)
\(S_i=180\sinistra (6-2\destra)\)
\(S_i=180\cdot4\)
\(S_i=720\)
In un esagono regolare, gli angoli interni misureranno sempre 120° ciascuno, perché
720°: 6 = 120°
→ Angoli esterni di un esagono regolare
Per quanto riguarda gli angoli esterni, sappiamo che il La loro somma è sempre uguale a 360°. Poiché ci sono 6 angoli esterni, ciascuno di essi misurerà 60°, come
360°: 6 = 60°
→ Apotema esagonale regolare
Si considera un apotema di un poligono regolaresegmento collegando il centro del poligono al punto medio dalla tua parte. Come sappiamo, l'esagono regolare è composto da 6 triangoli equilateri, quindi l'apotema corrisponde all'altezza di uno di questi triangoli equilateri. Il valore di questo segmento può essere calcolato con la formula:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
→ perimetro dell'esagono
Per calcolare il perimetro di un esagono, esegui semplicemente il somma dei suoi 6 lati. Quando l'esagono è regolare, i suoi lati sono congruenti, quindi è possibile calcolare il perimetro dell'esagono usando la formula:
P = 6L
→ area esagonale regolare
Poiché sappiamo che l'esagono regolare è composto da 6 triangoli equilateri di lati che misurano L, è possibile ricavare una formula per il calcolo della sua area, utilizzando il calcolo della area di uno triangolo equilatero moltiplicato per 6.
\(LA=6\cdot\frac{L^2\sqrt3}{4}\)
Si noti che è possibile semplificazione dividendo per 2, generando quindi la formula per calcolare l'area dell'esagono:
\(LA=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
Esagono inscritto in un cerchio
Diciamo che un poligono è inscritto in a circonferenza quando lui è all'interno del cerchio e i suoi vertici sono punti di questo. Possiamo rappresentare l'esagono regolare inscritto in un cerchio. Quando facciamo questa rappresentazione, è possibile verificare che la lunghezza del raggio del cerchio sia uguale alla lunghezza del lato dell'esagono.
Sappi anche che: Cerchio e circonferenza: qual è la differenza?
Esagono circoscritto a cerchio
Diciamo che un poligono è circoscritto da una circonferenza quando il circonferenza è all'interno di questo poligono. Possiamo rappresentare l'esagono regolare circoscritto. In questo caso, il cerchio è tangente al punto medio di ciascun lato dell'esagono, il che rende il raggio del cerchio uguale all'apotema dell'esagono.
prisma a base esagonale
IL Geometria piana è la base per gli studi di Geometria spaziale. o l'esagono può essere presente alla base dei solidi geometrici, come nei prismi.
Per trovare il volume di a prisma, calcoliamo il prodotto tra l'area della base e l'altezza. Poiché la sua base è un esagono, il suo volume può essere calcolato da:
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Leggi anche: Volume dei solidi geometrici: come calcolarlo?
Piramide a base esagonale
Oltre al prisma esagonale, ci sono anche i piramidi base esagonale.
per scoprire il volume di una piramide di base esagonale, calcoliamo il prodotto dell'area della base, l'altezza e dividiamo per 3.
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h: 3\)
Si noti che moltiplichiamo e dividiamo per tre, il che consente a semplificazione. Quindi, il volume di una piramide a base esagonale è calcolato dalla formula:
\(V=\frac{L^2\sqrt3}{2}\cpunto h\)
Esercizi risolti su esagono
domanda 1
Una terra ha la forma di un esagono regolare. Vuoi circondare quest'area con filo spinato, in modo che il filo faccia il giro del territorio 3 volte. Sapendo che, in tutto, sono stati spesi 810 metri di filo per racchiudere l'intero terreno, l'area di questo esagono misura, approssimativamente:
(Utilizzo \(\sqrt3=1.7\))
A) 5102 mq
B) 5164 mq
C) 5200 mq
D) 5225 mq
E) 6329 mq
Risoluzione:
Alternativa B
Il perimetro dell'esagono regolare è
\(P=6L\)
Essendo stati effettuati 3 giri, sono stati spesi in totale 270 metri per completare un singolo giro, poiché sappiamo che:
810: 3 = 270
Quindi abbiamo:
\(6L=270\)
\(L=\frac{270}{6}\)
\(L=45\ metri\)
Conoscendo la lunghezza del lato, calcoleremo l'area:
\(LA=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{{45}^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{2025\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot1012.5\sqrt3\)
\(A=3037.5\sqrt3\)
\(A=3037.5\cdot1.7\)
\(LA=5163,75m^2\)
Arrotondando, otteniamo:
\(A\circa5164m^2\)
Domanda 2
(PUC - RS) Per un ingranaggio meccanico, si vuole realizzare un pezzo di forma esagonale regolare. La distanza tra i lati paralleli è di 1 cm, come mostrato nella figura seguente. Il lato di questo esagono misura ______ cm.
IL) \(\frac{1}{2}\)
B) \(\frac{\sqrt3}{3}\)
C) \(\sqrt3\)
D) \(\frac{\sqrt5}{5}\)
E) 1
Risoluzione:
Alternativa B
Riguardo all'esagono regolare, sappiamo che il suo apotema è la misura dal centro al punto medio di uno dei lati. Pertanto, l'apotema è la metà della distanza indicata nell'immagine. Quindi, dobbiamo:
\(2a=1cm\)
\(a=\frac{1}{2}\)
L'apotema è quindi uguale a \(\frac{1}{2}\). C'è una relazione tra i lati dell'esagono e l'apotema, perché in un esagono regolare abbiamo:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
Poiché conosciamo il valore dell'apotema, possiamo sostituirlo \(a=\frac{1}{2}\) nell'equazione:
\(\frac{1}{2}=\frac{L\sqrt3}{2}\)
\(1=L\sqrt3\)
\(L\sqrt3=1\)
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\)
Razionalizzare la frazione:
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\)
\(L=\frac{\sqrt3}{3}\)
Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica
