Il dominio, l'intervallo e l'intervallo sono insiemi numerici correlati da funzioni matematiche. Questi trasformano i valori attraverso le loro leggi di formazione e li trasportano da un insieme di output, il dominio, a un insieme di arrivo, l'intervallo.
Dall'insieme del dominio provengono i valori che verranno trasformati dalla formula della funzione, o legge di formazione. Successivamente, questi valori arrivano al codominio.
Il sottoinsieme formato dagli elementi che arrivano nel codominio è chiamato insieme di immagini.
In questo modo, dominio, intervallo e intervallo sono insiemi non vuoti e possono essere finiti o infiniti.
Nello studio delle funzioni è necessario specificare quali elementi o qual è lo scopo di questi insiemi. Ad esempio: insieme di numeri naturali o insieme di numeri reali.
Dato un dominio A in cui ogni elemento x che gli appartiene viene trasformato dalla funzione in un elemento y che appartiene all'intervallo B, ogni elemento y è chiamato immagine di x.
Per designare il dominio e l'intervallo di una funzione, viene utilizzata la notazione:
(leggiamo f da A a B)
Queste leggi di trasformazione sono espressioni che coinvolgono operazioni e valori numerici.
Esempio
Una funzione f: A→B definita dalla legge di formazione f(x) = 2x, dove il suo dominio è l'insieme A={1, 2, 3} e l'intervallo B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, può essere rappresentato dai valori nella tabella e dal diagrammi:
|
Dominio X |
f(x) = 2x |
Immagine e |
|---|---|---|
| 1 | f(1) = 2. 1 | 2 |
| 2 | f(2) = 2. 2 | 4 |
| 3 | f(3) = 2. 3 | 6 |
Organizzare i risultati delle tabelle in diagrammi:
Dominio
Il dominio D di una funzione f è l'insieme di output, composto dagli elementi x applicati alla funzione.
Geometricamente, in un piano cartesiano, gli elementi di dominio formano l'asse x dell'ascissa.
nella notazione il dominio è rappresentato dalla lettera prima della freccia.
Ogni elemento x nel dominio ha almeno un'immagine y nel codominio.
codominio
Il dominio del CD è il set di arrivo. nella notazione è rappresentato sul lato destro della freccia.
Immagine
Image Im è un sottoinsieme dell'intervallo, formato dagli elementi y che lasciano la funzione e arrivano all'intervallo, che può avere lo stesso numero di elementi o un numero inferiore.
In questo modo l'insieme di immagini di una funzione f è contenuto nel codominio.
Geometricamente, in un piano cartesiano gli elementi dell'insieme di immagini formano l'asse y delle ordinate.
È comune dire che y è il valore assunto dalla funzione f(x) e, in questo modo, scriviamo:
È possibile che lo stesso elemento y sia un'immagine di più di un elemento x nel dominio.
Esempio
in funzione definito dalla legge
, per i valori x simmetrici del dominio, abbiamo una singola immagine y.
impara di più riguardo funzioni.
Esercizi di dominio, co-dominio e immagine
Esercizio 1
Dati gli insiemi A = {8, 12, 13, 20, 23} e B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}, determinare: dominio, intervallo e intervallo del funzioni.
a) f: A → B definito da f (x) = 2x + 1
b) f: A → B definito da f (x) = 3x - 14
a) f: A → B definito da f (x) = 2x + 1
Dominio A = {8, 12, 13, 20, 23}
Dominio B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Immagine Im (f) ={17,25,27,41,47}
| D(f) | f(x)=2x+1 | sono (f) |
|---|---|---|
| 8 | f (8)=2,8+1 | 17 |
| 12 | f (12)=2,12+1 | 25 |
| 13 | f (13)=2,13+1 | 27 |
| 20 | f(20)=2,20+1 | 41 |
| 23 | f (23)=2,23+1 | 47 |
b) f: A → B definito da f (x) = 3x - 14
Dominio A = {8, 12, 13, 20, 23}
Dominio B = {10, 17, 22, 24, 25, 27, 41, 46, 47, 55}
Immagine Im (f) ={}
| D(f) | f(x) = 3x - 14 | sono (f) |
|---|---|---|
8 |
f (8)=3,8 - 14 | 10 |
| 12 | f (12)=3,12 - 14 | 24 |
| 13 | f (13)=3,13 - 14 | 25 |
| 20 | f (20)=3,20 - 14 | 46 |
| 23 | f (23)=3,23 - 14 | 55 |
Esercizio 2
Determina il dominio delle funzioni definito da:
Il dominio è l'insieme dei possibili valori che x può assumere.
a) Sappiamo che non è possibile avere la divisione per zero 0, quindi il denominatore deve essere diverso da zero.
Leggiamo: x appartiene ai reali tale che x è diverso da 2.
b) Non esiste una radice quadrata di un numero negativo. Pertanto, il radicando deve essere maggiore o uguale a zero.
Leggiamo: x appartiene ai reali tali che x è maggiore o uguale a 5.
Esercizio 3
Data la funzione con dominio nell'insieme degli interi qual è il set di immagini di f(x)?
L'insieme Z di interi ammette sia numeri negativi che positivi in cui due numeri consecutivi sono distanti 1 unità.
In questo modo, la funzione ammette valori positivi e negativi. Tuttavia, poiché x è al quadrato, ogni valore, anche negativo, restituirà un valore positivo.
Esempio
f(-2) = (-2)² = -2. (-2) = 4
In questo modo, ci saranno solo numeri naturali nell'immagine.
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Applicazioni e curiosità
Le funzioni trovano applicazione nello studio di qualsiasi fenomeno in cui un parametro dipende da un altro. Come, ad esempio, la velocità di un mobile nel tempo, gli effetti di un farmaco con le caratteristiche dell'acidità nello stomaco, la temperatura di una caldaia con la quantità di combustibile.
Le funzioni sono presenti nei fenomeni reali e, quindi, trovano applicazione in tutti gli studi scientifici e ingegneristici.
Lo studio delle funzioni non è recente, alcuni documenti dell'Antichità nelle tavole babilonesi mostrano che facevano già parte della matematica. Nel corso degli anni, la notazione, il modo in cui sono scritte, ha ricevuto contributi da diversi matematici e si è perfezionata, fino a usarla oggi.
