La fattorizzazione di polinomi consiste in metodi sviluppati per riscrivere un polinomio come prodotto tra polinomi. Scrivi il polinomio come il moltiplicazione tra due o più fattori aiuta a semplificare le espressioni algebriche e a comprendere un polinomio.
Esistono diversi casi di factoring e per ognuno di essi esistono tecniche specifiche.. I casi esistenti sono: fattorizzazione per fattore comune in evidenza, fattorizzazione per raggruppamento, differenza tra due quadrati, trinomio quadrato perfetto, somma di due cubi e differenza di due cubi.
Per saperne di più:Cos'è il polinomio?
Riepilogo sulla fattorizzazione dei polinomi
La fattorizzazione dei polinomi sono tecniche utilizzate per rappresentare il polinomio come un prodotto tra polinomi.
Usiamo questa fattorizzazione per semplificare espressioni algebriche.
-
I casi di factoring sono:
Fattorizzazione per fattore comune in evidenza;
Fattorizzazione per raggruppamento;
trinomio quadrato perfetto;
differenza di due quadrati;
somma di due cubi;
Differenza di due cubi.
Casi di factoring polinomiale
Per fattorizzare un polinomio, è necessario analizzare in quale dei casi di factoring si inserisce la situazione, essendo: fattorizzazione per fattore comune in evidenza, fattorizzazione per raggruppamento, differenza tra due quadrati, trinomio quadrato perfetto, somma di due cubi e differenza di due cubi. Vediamo come eseguire la fattorizzazione in ciascuno di essi.
Non fermarti ora... C'è altro dopo l'annuncio ;)
Fattore comune in evidenza
Utilizziamo questo metodo di fattorizzazione quando esiste un fattore comune a tutti i termini del polinomio. Questo fattore comune verrà evidenziato come un fattore e l'altro fattore, il risultato del divisione dei termini per quel fattore comune, sarà posto tra parentesi.
Esempio 1:
20xy + 12x² + 8xy²
Analizzando ogni termine di questo polinomio, è possibile notare che x si ripete in tutti i termini. Inoltre, tutti i coefficienti (20, 12 e 8) sono multipli di 4, quindi il fattore comune a tutti i termini è 4x.
Dividendo ogni termine per il fattore comune si ha:
20xy: 4x = 5y
12x²: 4x = 3x
8xy²: 4x = 2y²
Ora scriveremo la fattorizzazione mettendo in evidenza il fattore comune e il somma dei risultati tra parentesi:
4x (5 anni + 3x + 2 anni²)
Esempio 2:
2a²b² + 3a³b – 4a5b³
Analizzando la parte letterale di ogni termine, è possibile notare che a²b si ripete in tutti. Nota che non esiste un numero che divida 2, 3 e – 4 contemporaneamente. Quindi il fattore comune sarà solo a²b.
2a²b²: a²b = 2b
3a³b: a²b = 3a
4°5b³: a²b = 4a³
Pertanto, la fattorizzazione di questo polinomio sarà:
a²b (2b + 3a + 4a³)
Vedi anche: Addizione, sottrazione e moltiplicazione di polinomi: capisci come sono fatti
raggruppamento
Questo metodo è utilizzato quando non esiste un fattore comune per tutti i termini del polinomio. In questo caso, identifichiamo i termini che possono essere raggruppati aventi un fattore comune e li evidenziamo.
Esempio:
Fattorizzare il seguente polinomio:
ascia + 4b + bx + 4a
Raggrupperemo i termini che hanno aeb come fattore comune:
ascia + 4a + bx + 4b
Mettendo aeb in evidenza in termini di due a due, abbiamo:
a(x+4)+b(x+4)
Si noti che all'interno delle parentesi i fattori sono gli stessi, quindi possiamo riscrivere questo polinomio come:
(a + b) (x + 4)
trinomio quadrato perfetto
I trinomi sono polinomi con 3 termini. Un polinomio è detto trinomio quadrato perfetto quando lo è risultato somma al quadrato o differenza al quadrato, questo è:
a² + 2ab + b² = (a + b) ²
a² – 2ab + b² = (a – b) ²
Importante: Non ogni volta che ci sono tre termini questo polinomio sarà un trinomio quadrato perfetto. Pertanto, prima di effettuare la fattorizzazione, occorre verificare se il trinomio rientra in questo caso.
Esempio:
Scomponi, se possibile, il polinomio
x² + 10x + 25
Dopo aver analizzato questo trinomio, estrarremo il radice quadrata primo e ultimo mandato:
\(\sqrt{x^2}=x\)
\(\sqrt{25}=5\)
È importante verificare che il termine centrale, cioè 10x, sia uguale a \(2\cdot\ x\cdot5\). Nota che è effettivamente lo stesso. Quindi questo è un trinomio quadrato perfetto, che può essere scomposto da:
x² + 10x + 25 = (x + 5)²
differenza di due quadrati
Quando abbiamo una differenza di due quadrati, possiamo scomporre questo polinomio riscrivendolo come il prodotto della somma e della differenza.
Esempio:
Fattorizzare il polinomio:
4x² – 36y²
Per prima cosa, calcoleremo la radice quadrata di ciascuno dei suoi termini:
\(\sqrt{4x^2}=2x\)
\(\sqrt{36a^2}=6a\)
Ora riscriviamo questo polinomio come il prodotto della somma e della differenza delle radici trovate:
4x² – 36y² = (2x + 6y) (2x – 6y)
Leggi anche: Calcolo algebrico che coinvolge i monomi: scopri come si verificano le quattro operazioni
somma di due cubi
La somma di due cubi, cioè a³ + b³, può essere scomposto come:
a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²)
Esempio:
Fattorizzare il polinomio:
x³ + 8
Sappiamo che 8 = 2³, quindi:
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 2²)
x³ + 8 = (x + 2) (x² - 2x + 4)
Differenza di due cubi
La differenza di due cubi, cioè a³ – b³, non diversamente dalla somma di due cubi, può essere scomposto come:
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²)
Esempio:
Scomponi il polinomio
8x³ - 27
Lo sappiamo:
8x³ = (2x)³
27 = 3³
Quindi dobbiamo:
\(8x^3-27=\sinistra (2x-3\destra)\)
\(8x^3-27=\sinistra (2x-3\destra)\sinistra (4x^2+6x+9\destra)\)
Risolti esercizi sulla fattorizzazione dei polinomi
domanda 1
Utilizzo della fattorizzazione polinomiale per semplificare l'espressione algebrica \(\frac{x^2+4x+4}{x^2-4},\), noi troveremo:
a) x + 2
B) x - 2
C) \(\frac{x-2}{x+2}\)
D) \(\frac{x+2}{x-2}\)
E) (x - 2) (x + 2)
Risoluzione:
Alternativa D
Osservando il numeratore, vediamo che x² + 4x + 4 è un caso di trinomio quadrato perfetto e può essere riscritto come:
x² + 4x + 4 = (x + 2)²
Il numeratore x² – 4 è la differenza di due quadrati e può essere riscritto come:
x² - 4 = (x + 2) (x - 2)
Dunque:
\(\frac{\sinistra (x+2\destra)^2}{\sinistra (x+2\destra)\sinistra (x-2\destra)}\)
Si noti che il termine x + 2 compare sia al numeratore che al denominatore, quindi la sua semplificazione è data da:
\(\frac{x+2}{x-2}\)
Domanda 2
(Istituto Unifil) Considerando che due numeri, xey, sono tali che x + y = 9 e x² – y² = 27, il valore di x è uguale a:
a) 4
B) 5
C) 6
D) 7
Risoluzione:
Alternativa C
Si noti che x² – y² è la differenza tra due quadrati e può essere scomposto come il prodotto della somma e della differenza:
x² – y² = (x + y) (x – y)
Sappiamo che x + y = 9:
(x + y) (x - y) = 27
9 (x - y) = 27
x - y = 27: 9
x - y = 3
Quindi possiamo impostare a sistema di equazioni:
Sommando le due righe:
2x + 0 y = 12
2x = 12
x = \(\frac{12}{2}\)
x = 6
Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica
