Il vettore è la rappresentazione che determina la grandezza, la direzione e la direzione di una grandezza vettoriale. I vettori sono segmenti retti orientati da una freccia a un'estremità.
Chiamiamo i vettori con una lettera e una piccola freccia.
I vettori caratterizzano le quantità vettoriali, che sono quantità che necessitano di orientamento, cioè direzione e direzione. Alcuni esempi sono: forza, velocità, accelerazione e spostamento. Il valore numerico non basta, occorre descrivere dove agiscono queste grandezze.
modulo di un vettore
Il modulo, o intensità, del vettore è il suo valore numerico, seguito dall'unità di misura della grandezza che rappresenta, ad esempio:
Indichiamo il modulo tra le barre mantenendo la freccia o, solo la lettera, senza barre e senza freccia.
La lunghezza del vettore è proporzionale al modulo. Un vettore più grande rappresenta un modulo più grande.
il modulo vettoriale è 4 unità, mentre vettore
è di 2 unità.
Direzione di un vettore
La direzione del vettore è la pendenza della linea di supporto su cui è determinato. C'è solo una direzione per ogni vettore.
senso di un vettore
La direzione del vettore è indicata dalla freccia. La stessa direzione può contenere due direzioni, ad esempio su o giù e sinistra o destra.
Adottando una direzione come positiva, la direzione opposta, negativa, viene rappresentata con un segno meno prima del simbolo del vettore.
Vettore risultante
Il vettore risultante è il risultato di operazioni vettoriali ed è equivalente a un insieme di vettori. È conveniente conoscere il vettore che rappresenta l'effetto prodotto da più di un vettore.
Ad esempio, un corpo può essere soggetto a un insieme di forze e vogliamo conoscere il risultato che produrranno, tutte insieme, su questo corpo. Ogni forza è rappresentata da un vettore, ma il risultato può essere rappresentato da un solo vettore: il vettore risultante.
Il vettore risultante, , di direzione orizzontale e verso destra, è il risultato di addizioni e sottrazioni dei vettori.
,
,
e
. Il vettore risultante mostra una tendenza del corpo a muoversi in questo orientamento.
I vettori con direzione verticale hanno la stessa dimensione, cioè lo stesso modulo. Poiché hanno significati opposti, si annullano a vicenda. Questo mostra che non ci sarà alcun movimento della cassa in direzione verticale.
Quando si analizzano i vettori e
, che hanno la stessa direzione e direzioni opposte, ci accorgiamo che una parte della forza "rimane" a destra, come il vettore
è più grande del
, cioè il modulo di
è più grande.
Per determinare il vettore risultante, eseguiamo operazioni di addizione e sottrazione di vettori.
Addizione e sottrazione di vettori con la stessa direzione
Insieme a uguali sensi, aggiungiamo i moduli e manteniamo la direzione e la direzione.
Esempio:
Graficamente posizioniamo i vettori in sequenza, senza cambiarne i moduli. L'inizio dell'uno deve coincidere con la fine dell'altro.
La proprietà commutativa dell'addizione è valida, poiché l'ordine non cambia il risultato.
Insieme a sensi opposti, sottraiamo i moduli e manteniamo la direzione. La direzione del vettore risultante è quella del vettore con il modulo maggiore.
Esempio:
il vettore è la parte rimanente di
, dopo il ritiro
.
Sottrarre un vettore equivale a sommare con l'opposto dell'altro.
Addizione e sottrazione di vettori perpendicolari
Per sommare due vettori con direzioni perpendicolari, spostiamo i vettori senza modificarne il modulo, in modo che l'inizio dell'uno coincida con la fine dell'altro.
Il vettore risultante collega l'inizio del primo alla fine del secondo.
Per determinare la grandezza del vettore risultante tra due vettori perpendicolari, abbiniamo l'inizio dei due vettori.
Il modulo del vettore risultante è determinato dal teorema di Pitagora.
Addizione e sottrazione di vettori obliqui
Due vettori sono obliqui quando formano un angolo tra le loro direzioni diverse da 0°, 90° e 180°. Per aggiungere o sottrarre vettori obliqui, vengono utilizzati i metodi del parallelogramma e della linea poligonale.
metodo del parallelogramma
Per eseguire il metodo, o regola, del parallelogramma tra due vettori e disegnare il vettore risultante, seguiamo questi passaggi:
Il primo passo è posizionare le loro origini nello stesso punto e tracciare linee parallele ai vettori per formare un parallelogramma.
Il secondo è disegnare un vettore diagonale sul parallelogramma, tra l'unione dei vettori e l'unione delle rette parallele.
Le linee tratteggiate sono parallele ai vettori e la figura geometrica formata è un parallelogramma.
Il vettore risultante è la linea che collega l'origine dei vettori ai paralleli.
oh modulo del vettore risultante si ottiene dalla legge del coseno.
In cui si:
R è la grandezza del vettore risultante;
a è il modulo vettoriale ;
b è il modulo del vettore ;
è l'angolo formato tra le direzioni dei vettori.
Il metodo del parallelogramma viene utilizzato per aggiungere una coppia di vettori. Se vuoi aggiungere più di due vettori, devi aggiungerli a due a due. Al vettore risultante dalla somma dei primi due aggiungiamo il terzo e così via.
Un altro modo per aggiungere più di due vettori consiste nell'utilizzare il metodo della linea del poligono.
metodo della linea poligonale
Il metodo della linea poligonale viene utilizzato per trovare il vettore risultante dall'aggiunta di vettori. Questo metodo è particolarmente utile quando si aggiungono più di due vettori, come i seguenti vettori ,
,
e
.
Per utilizzare questo metodo dobbiamo ordinare i vettori in modo che la fine di uno (freccia) coincida con l'inizio di un altro. È importante conservare il modulo, la direzione e la direzione.
Dopo aver disposto tutti i vettori sotto forma di linea poligonale, dobbiamo tracciare il vettore risultante che va dall'inizio del primo alla fine dell'ultimo.
È importante che il vettore risultante chiuda il poligono, con la sua freccia che coincide con la freccia nell'ultimo vettore.
La proprietà commutativa è valida, poiché l'ordine in cui poniamo i vettori di trama non cambia il vettore risultante.
decomposizione vettoriale
Scomporre un vettore significa scrivere i componenti che compongono questo vettore. Questi componenti sono altri vettori.
Ogni vettore può essere scritto come una composizione di altri vettori, attraverso una somma vettoriale. In altre parole, possiamo scrivere un vettore come la somma di due vettori, che chiamiamo componenti.
Utilizzando un sistema di coordinate cartesiane, con assi x e y perpendicolari, determiniamo le componenti del vettore.
il vettore è il risultato della somma vettoriale tra i vettori componenti.
e
.
il vettore inclinazione
forma un triangolo rettangolo con l'asse x. Pertanto, determiniamo i moduli dei vettori componenti usando la trigonometria.
Modulo componente ax.
Modulo componente aa.
il modulo vettoriale si ottiene dal teorema di Pitagora.
Esempio
Una forza viene eseguita tirando un blocco da terra. La forza del modulo di 50 N è inclinata di 30° rispetto all'orizzontale. Determinare le componenti orizzontale e verticale di questa forza.
Dati:
Moltiplicazione di un numero reale per un vettore
Moltiplicando un numero reale per un vettore, il risultato sarà un nuovo vettore, che avrà le seguenti caratteristiche:
- Stessa direzione se il numero reale è diverso da zero;
- Stessa direzione, se il numero reale è positivo, e nella direzione opposta se è negativo;
- Il modulo sarà il prodotto del modulo del numero reale e il modulo del vettore moltiplicato.
Prodotto tra un numero reale e un vettore
In cui si: è il vettore risultante dalla moltiplicazione;
è il numero reale;
è il vettore da moltiplicare.
Esempio
Sia il numero reale n = 3 e il vettore di modulo 2, il prodotto tra loro è uguale a:
Calcolo del modulo
La direzione e la direzione saranno le stesse.
Esercizio 1
(Enem 2011) La forza di attrito è una forza che dipende dal contatto tra i corpi. Può essere definita come una forza contraria alla tendenza allo spostamento dei corpi e si genera a causa di irregolarità tra due superfici a contatto. Nella figura, le frecce rappresentano le forze che agiscono sul corpo e il punto ingrandito rappresenta le irregolarità che esistono tra le due superfici.
Nella figura i vettori che rappresentano le forze che provocano lo spostamento e l'attrito sono rispettivamente:
Il) 
B) 
C) 
D) 
e) 
Risposta corretta: lettera a) 
Le frecce rappresentano i vettori delle forze che agiscono nel movimento in direzione orizzontale, essendo una coppia azione-reazione, hanno direzioni opposte.
Le frecce verticali rappresentano le azioni della Forza Peso e della Forza Normale e, essendo uguali, si annullano a vicenda, senza alcun movimento in direzione verticale.
Esercizio 2
(UEFS 2011) Il diagramma vettoriale in figura delinea le forze esercitate da due elastici su un dente di una persona sottoposta a trattamento ortodontico.
Assumendo F = 10.0N, sen45° = 0.7 e cos45° = 0.7, l'intensità della forza applicata dagli elastici sul dente, in N, è pari a
a) 3√10
b) 2√30
c) 2√85
d) 3√35
e) 2√45
Risposta corretta: c) 2√85
L'intensità della forza applicata al dente è ottenuta dalla legge dei coseni.
a e b sono uguali a 10 N.
Scomponendo la radice quadrata si ottiene:
Pertanto, l'intensità della forza risultante applicata dagli elastici sul dente è .
Esercizio 3
(PUC RJ 2016) Le forze F1, F2, F3 e F4, nella figura, formano un angolo retto tra loro e i loro moduli sono, rispettivamente, 1 N, 2 N, 3 N e 4 N.
Calcola il modulo della forza netta, in N.
a) 0
b) √2
c) 2
d) 2√ 2
e) 10
Risposta corretta: d) 2√ 2
Usiamo il metodo della linea poligonale per determinare il vettore risultante. Per fare ciò, riordiniamo i vettori in modo che la fine di uno coincida con l'inizio dell'altro, in questo modo:
Utilizzando un sistema di coordinate con origine all'inizio del vettore risultante, possiamo determinare i moduli dei suoi componenti, come segue:
Quindi, dobbiamo:
Ry = 3 - 1 = 2 N
Rx = 4 - 2 = 2 N
La grandezza del vettore risultante è determinata dal teorema di Pitagora.
Pertanto, il modulo della forza netta è uguale a .
impara di più riguardo
- Vettori: addizione, sottrazione e scomposizione.
- Quantità vettoriali
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