il set di numeri primi è oggetto di studio in matematica dall'antica Grecia. Euclide, nella sua grande opera “Gli elementi”, stava già discutendo sull'argomento, riuscendo a dimostrare che questo set è infinito. Come sappiamo, i numeri primi sono quelli che hanno come divisore il numero 1 e loro stessi, quindi, trovare numeri primi molto grandi non è un compito facile, e il crivello di Eratostene lo rende facile. riunione.
Come si fa a sapere quando un numero è primo?
Sappiamo che un numero primo è achi ha come divisore il numero 1 e se stesso, quindi un numero che, nella sua lista di divisori, ha numeri diversi da 1 e di per sé non sarà primo, vedi:
Elencando i divisori 11 e 30, abbiamo:
D(11) = {1, 11}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}
Nota che il numero 11 ha solo il numero 1 e se stesso come divisori, quindi il il numero 11 è un numero primo. Ora, guarda i divisori del numero 30, ha, oltre al numero 1 e a se stesso, i numeri 2, 3, 5, 6 e 10 con divisori. Perciò, il numero 30 non è primo.
→ Esempio: Elenca i numeri primi inferiori a 15.
Per questo, elencheremo i divisori di tutti i numeri compresi tra 2 e 15.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1,3}
D(4) = {1, 2, 4}
D(5) = {1, 5}
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(7) = {1, 7}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(9) = {1, 3, 9}
D(10) = {1, 2, 5, 10}
D(11) = {1, 11}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(13) = {1, 13}
D(14) = {1, 2, 7, 14}
D(15) = {1, 3, 5, 15}
Quindi, i numeri primi minori di 15 sono:
2, 3, 5, 7, 11 e 13
Diciamocelo, questo compito non sarebbe molto piacevole, ad esempio, se dovessimo scrivere tutti i numeri primi compresi tra 2 e 100. Per evitarlo, impareremo ad usare, nel prossimo argomento, il crivello di Eratostene.
Crivello di Eratostene
Il crivello di Eratostene è un strumento che mira a facilitare la determinazione dei numeri primi. Il setaccio si compone di quattro passaggi, ed è necessario, per comprenderli, tenere a mente i criteri di divisibilità. Prima di iniziare il passo passo, dobbiamo creare una tabella dal numero 2 al numero desiderato, poiché il numero 1 non è primo. Quindi:
→ Passo 1: Dal criterio di divisibilità per 2, si ha che i numeri pari sono tutti divisibili per esso, cioè il il numero 2 apparirà nell'elenco dei divisori, quindi questi numeri non saranno primi e dobbiamo escluderli dal tavolo. Sono loro:
4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …
→ Passo 2: Dal criterio di divisibilità per 3, sappiamo che un numero è divisibile per 3 se il somma delle sue cifre lo è anche. Quindi, dobbiamo escludere questi numeri dalla tabella, poiché non sono primi perché c'è un numero diverso da 1 e da se stesso nell'elenco dei divisori. Quindi, dobbiamo escludere i numeri:
6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …
→ Passaggio 3: Dal criterio di divisibilità per 5, sappiamo che tutti i numeri che terminano con 0 o 5 sono divisibili per 5, quindi dobbiamo escluderli dalla tabella.
10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…
→ Passaggio 4: Allo stesso modo, dobbiamo escludere i numeri multipli di 7 dalla tabella.
14, 21, 28, …, 546, …
– Conoscendo il crivello di Eratostene, determiniamo i numeri primi tra 2 e 100.
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97 |
98 |
99 |
100 |
→ non sono cugini
→ numeri primi
Quindi i numeri primi compresi tra 2 e 100 sono:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
Leggi anche: Calcolo MMC e MDC: come si fa?
Decomposizione in fattori primi
IL decomposizione in fattori primi è formalmente noto come teorema fondamentale dell'aritmetica. Questo teorema afferma che qualunque numero intero diverso da 0 e maggiore di 1 può essere rappresentato dal prodotto dei numeri primi. Per determinare la forma fattorizzata di un intero, dobbiamo eseguire divisioni successive fino a raggiungere il risultato uguale a 1. Vedi l'esempio:
→ Determinare la forma fattorizzata dei numeri 8, 20 e 350.
Per scomporre il numero 8, dobbiamo dividerlo per il primo numero primo possibile, in questo caso per 2. Quindi, eseguiamo un'altra divisione anche per il primo che è possibile, questo processo viene ripetuto fino a raggiungere il numero 1 come risposta alla divisione. Aspetto:
8: 2 = 4
4: 2 = 2
2: 2 = 1
Pertanto, la forma fattorizzata del numero 8 è 2 · 2 · 2 = 23. Al fine di facilitare questo processo, adotteremo il seguente metodo:
Pertanto, il numero 8 può essere scritto come: 23.
→ Per fattorizzare il numero 20, utilizzeremo lo stesso metodo, ovvero: dividerlo per numeri primi.
Quindi il numero 20, nella sua forma fattorizzata, è: 2 · 2 · 5 o 22 · 5.
→ Allo stesso modo, faremo con il numero 350.
Pertanto, il numero 350, nella sua forma fattorizzata, è: 2 · 5 · 5 · 7 o 2 · 52 · 7.
Vedi anche: Notazione scientifica: a cosa serve?
esercizi risolti
domanda 1 – Semplificare l'espressione:
Soluzione
Innanzitutto, fattorizziamo l'espressione per renderlo più semplice.
Quindi, 1024 = 210, e quindi possiamo sostituire l'uno con l'altro nell'espressione dell'esercizio. Così:
di Robson Luiz
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-primos.htm
