Binomio di Newton è un qualsiasi binomio elevato a un numero no su cosa no è un numero naturale. Grazie agli studi del fisico Isaac Newton sulle potenze dei binomi, era possibile controllare le regolarità che facilitano la rappresentazione del polinomio generato dalla potenza di un binomio.
Osservando queste regolarità, è diventato anche possibile trova solo uno dei termini di polinomio, senza doverlo calcolare tutto, usando la formula del termine generale di un binomio. Inoltre, Newton ha notato una relazione tra il analisi combinatoriaa e i binomi di Newton, cosa ha reso la Il triangolo di Pascal un ottimo strumento per lo sviluppo più pratico di un binomio di Newton.
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Definizione del binomio di Newton
Definiamo come binomio ilpolinomio che ha due termini. In alcune applicazioni in Matematica e Fisica è necessario calcolare le potenze di un binomio. Per facilitare il processo, Isaac Newton ha notato importanti regolarità che ci permettono di trovare il polinomio che risulta dalla potenza di un binomio.
Per alcuni casi il calcolo è abbastanza semplice: basta eseguire il moltiplicazione del binomio per se stesso usando la proprietà distributiva. Fino a una potenza di ordine 3, ci sviluppiamo senza molto sforzo, poiché sono i ben noti prodotti degni di nota, ma per potenze superiori, calcola dalla moltiplicazione del termine per se stesso no a volte è un sacco di lavoro.
Esempi
Ricorda che ogni numero elevato a zero è uguale a 1 e che ogni numero elevato a 1 è se stesso, il che vale anche per i binomi.
Newton notò che relazione tra i coefficienti di ciascuno dei termini e la combinazione, che ha permesso il calcolo di una potenza di un binomio più direttamente dalla seguente formula:
Comprensione della formula:
Per prima cosa diamo un'occhiata alla parte letterale di ogni termine, che è la lettera con il suo esponente. Si noti che, per ogni termine, l'esponente di “a” stava decrescendo, partendo da n, poi andando a n – 1, e così via fino a diventare 1 nel penultimo termine e 0 nell'ultimo termine (il che fa sì che la lettera “a” non compaia nemmeno nell'ultimo termine).
identificando Il e i suoi esponenti:
Analizziamo ora gli esponenti di "b", che sono sempre crescenti, partendo da 0 nel primo termine (il che fa sì che la lettera b non compaia nel primo termine), 1 nel secondo termine, e così via finché non è uguale Il nonell'ultimo termine.
identificando B e i suoi esponenti:
Comprendendo la parte letterale, diamo analizzare i coefficienti, che sono tutte combinazioni di no elementi presi da 0 a 0, da 1 a 1, da 2 a 2, e così via fino all'ultimo termine, che è la combinazione di no elementi presi da no nel no.
È interessante notare che è importante padroneggiare il calcolo di combinazioni poter trovare i coefficienti. Ricorda, per calcolare le combinazioni, dobbiamo:
La risposta della combinazione è sempre a numero naturale.
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Esempio: Calcola il binomio di Newton (a+b) alla quarta potenza.
1° passo: Scrivi il polinomio usando la formula.
2° passo: calcolare le combinazioni
Sostituendo le combinazioni, il polinomio trovato sarà:
Puoi vedere che risolvere casi come questo è ancora laborioso, a seconda dell'esponente, ma anche così è più veloce del calcolo usando la proprietà distributiva. Uno strumento che può aiutare con questo calcolo è il triangolo di Pascal.
Il triangolo di Pascal
Il triangolo di Pascal è stato sviluppato da Blaise Pascal durante lo studio delle combinazioni. egli è un modo che facilita il calcolo delle combinazioni. L'uso del triangolo di Pascal rende più facile e veloce trovare i coefficienti delle parti letterali di un binomio di Newton senza dover calcolare tutte le combinazioni.
Per costruire direttamente il triangolo di Pascal, ricordiamo due situazioni in cui il calcolo della combinazione è uguale a 1.
Pertanto, il primo e l'ultimo termine di tutte le linee sono sempre uguali a 1. I termini centrali sono costruiti dalla somma del termine sopra di esso più il suo vicino dalla colonna precedente, come nella rappresentazione seguente:
Per costruire le righe successive, ricorda che il primo termine è 1 e anche l'ultimo. Allora basta fare le somme per scoprire i termini centrali.
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Esempio: Calcola (a+b) alla sesta potenza.
1° passo: applica la formula del binomio.
2° passo: costruisci il triangolo di Pascal fino alla sesta linea.
3° passo: sostituire le combinazioni con i valori nella riga 6, che sono i coefficienti di ciascuno dei termini del binomio.
Ciò che determina il numero di linee che andremo a costruire dal binomio è il valore di n. È importante ricordare che la prima riga è zero.
Termine generale binomiale di Newton
Il binomio generale di Newton è una formula che ci permette di calcolare un termine del binomio senza dover sviluppare l'intero polinomio, cioè possiamo identificare uno qualsiasi dei termini dal primo all'ultimo. Con la formula calcoliamo direttamente il termine che stiamo cercando.
Il: primo termine
B: secondo termine
n: esponente
p+1: termine di ricerca
Esempio: Trova l'undicesimo termine del binomio (a + b)12.
Risoluzione:
Vedi anche: Dimostrazioni attraverso di calcolo algebrico
esercizi risolti
Domanda 1 - (Cesgranrio) Il coefficiente di x4 nel polinomio P(x) = (x + 2)6:
a) 64
b) 60
c) 12
d) 4
e) 24
Risoluzione
Vogliamo trovare un termine specifico nella risoluzione del binomio; per questo, dobbiamo trovare il valore di p.
Sappiamo che il primo termine in questo caso è uguale a x, quindi n – p = 4, poiché n = 6, abbiamo:
Quindi, il coefficiente è 60 (alternativa B).
Domanda 2 - (Unifor) Se il termine centrale dello sviluppo binomiale (4x + ky)10 per 8064x5sì5, allora l'alternativa che corrisponde al valore di k sarà:
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2
e) 4
Risoluzione: Sappiamo che il termine centrale ha coefficienti uguali (p= 5). Troviamo il sesto termine, poiché p+1=6. Inoltre, abbiamo che a = 4x; b = ky e n = 10, quindi:
Alternativa D.
Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/binomio-de-newton.htm