oh Il triangolo di Pascal è uno strumento matematico piuttosto vecchio. Nel corso della storia ha ricevuto diversi nomi, ma i più adottati oggi sono triangolo aritmetico e il triangolo di Pascal. Il secondo nome è un omaggio al matematico che ha dato diversi contributi allo studio di questo triangolo. significa che il triangolo è stato inventato da lui, ma è stato lui a studiarlo più a fondo attrezzo.
Dalle proprietà del triangolo di Pascal, è possibile costruirlo logicamente. Risalta anche il tuo relazione con combinazioni studiato in analisi combinatoria. I termini del triangolo di Pascal corrispondono anche a coefficienti binomiali e, quindi, è molto utile per calcolare qualsiasi binomio di Newton.
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Costruzione del triangolo di Pascal
Il triangolo di Pascal è prodotto dal risultato delle combinazioni, tuttavia esiste un metodo pratico che facilita il modo di costruirlo. La prima riga e la prima colonna vengono conteggiate come riga zero e colonna zero.
Possiamo usare tutte le linee necessarie in questa costruzione quindi il triangolo può avere linee infinite. Il ragionamento per l'elaborazione dei versi è sempre lo stesso. Aspetto:
Lo sappiamo i termini triangolari sono combinazioni, studiato in analisi combinatoria. Per sostituire il triangolo di Pascal con valori numerici, sappiamo che le combinazioni di un numero con zero e di un numero con se stesso sono sempre uguali a 1. Pertanto, il primo e l'ultimo valore sono sempre 1.
Per trovare gli altri, iniziamo con la riga 2, poiché la riga 0 e la riga 1 sono già complete. Nella riga 2, per trovare la combinazione di 2 a 1, nella riga sopra, cioè nella riga 1, aggiungiamo il termine sopra nella stessa colonna e il termine sopra nella colonna precedente, come mostrato nell'immagine :
Dopo aver costruito la linea 2, è possibile costruire la linea 3 eseguendo la stessa procedura.
Continuando questa procedura, troveremo tutti i termini – in questo caso, fino alla riga 5 – ma è possibile costruire tante righe quante sono necessarie.
Proprietà del triangolo di Pascal
Ci sono alcuni proprietà del triangolo di Pascal, per la regolarità nella sua costruzione. Queste proprietà sono utili per lavorare con le combinazioni, la costruzione stessa delle linee triangolari e la somma di linee, colonne e diagonali.
1a proprietà
La prima proprietà è stata quella che abbiamo usato per costruire il triangolo. Quindi per trova un termine nel triangolo di Pascal, aggiungi semplicemente il termine che si trova nella riga sopra e la stessa colonna con il termine che si trova nella colonna e nella riga prima di esso. Questa proprietà può essere rappresentata come segue:
Questa proprietà è nota come La relazione di Stifel ed è importante facilitare la costruzione del triangolo e trovare i valori di ciascuna delle linee.
2a proprietà
La somma di tutti i termini di una riga è calcolata da:
Sno=2no, su cosa no è il numero di riga.
Esempi:
Con questa proprietà, è possibile conoscere la somma di tutti i termini su una linea senza dover necessariamente costruire il triangolo di Pascal. La somma della riga 10, ad esempio, può essere calcolata con 210 = 1024. Sebbene non tutti i termini siano noti, è già possibile conoscere il valore della somma dell'intera riga.
3a proprietà
La somma dei termini che si susseguono dall'inizio di una data colonna per fino a una certa linea no è lo stesso del termine sulla riga n+1 schiena e colonna p+1 in seguito, come mostrato di seguito:
4a proprietà
La somma di una diagonale che inizia nella colonna 0 e va al termine nella colonna p e nella riga n è uguale al termine nella stessa colonna (p), ma nella riga sottostante (n+1), come mostrato nell'immagine :
5a proprietà
C'è simmetria nelle linee del triangolo di Pascal. Il primo e il secondo termine sono uguali, il secondo e il penultimo termine sono uguali e così via.
Esempio:
Riga 6: 1615 20 156 1.
Nota che i termini sono uguali a due a due, eccetto per il termine centrale.
Vedi anche: Divisione polinomiale: come risolverla?
Binomio di Newton
Definiamo il binomio di Newton a potere di uno polinomio che ha due termini. Il calcolo di un binomio è legato al triangolo di Pascal, che diventa un meccanismo per calcolare quelli che chiamiamo coefficienti binomiali. Per calcolare un binomio, usiamo la seguente formula:
Si noti che il valore dell'esponente di Il decresce fino a che nell'ultimo termine è uguale a Il0. Sappiamo che ogni numero elevato a 0 è uguale a 1, da cui il termine Il non compare nell'ultimo termine. Si noti inoltre che l'esponente di B inizia con B0, presto B non compare nel primo termine e aumenta fino a raggiungere Bno, nell'ultimo termine.
Inoltre, il numero che accompagna ciascuno dei termini è quello che chiamiamo coefficiente, in questo caso noto come coefficiente binomiale. Per capire meglio come risolvere questo tipo di binomio, accedi al nostro testo: Binomio di Newton.
coefficiente binomiale
Il coefficiente binomiale non è altro che la combinazione, che può essere calcolata utilizzando la formula:
Tuttavia, per facilitare il calcolo del binomio di Newton, è essenziale utilizzare il triangolo di Pascal, poiché ci dà il risultato della combinazione più velocemente.
Esempio:
Per trovare il risultato del coefficiente binomiale, troviamo i valori della riga 5 del triangolo di Pascal, che sono {1,5,10,10,5,1}.
(x+y)5= 1x5+5x4y+10x3sì2+ 10x2sì3 + 5xy4+1 anno5
In poche parole:
(x+y)5= x5+5x4y+10x3sì2+ 10x2sì3 + 5xy4+y5
esercizi risolti
Domanda 1 - Il valore dell'espressione sotto è?
A) 8
B) 16
C) 2
D) 32
E) 24
Risoluzione
Alternativa A.
Raggruppando i valori positivi e negativi, dobbiamo:
Nota che stiamo effettivamente calcolando la sottrazione tra la linea 4 e la linea 3 del triangolo di Pascal. Per proprietà sappiamo che:
S4 = 24 = 16
S3= 23 = 8
16 – 8 = 8.
Domanda 2 - Qual è il valore dell'espressione sottostante?
A) 32
B) 28
C) 256
D) 24
E) 54
Risoluzione
Alternativa B.
Nota che stiamo aggiungendo i termini dalla colonna 1 del triangolo di Pascal alla riga 7, quindi alla 3a proprietà, il valore di questa somma è uguale al termine che occupa la riga 7+1 e la colonna 1+1, cioè riga 8, colonna 2. Poiché vogliamo un solo valore, costruire l'intero triangolo di Pascal non è conveniente.
Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/triangulo-pascal.htm