Funzioni trigonometriche del doppio arco

Consideriamo un arco della circonferenza trigonometrica che misura 45°, il suo doppio arco è un arco di 90°, ma questo non lo è significa che il valore delle funzioni trigonometriche (seno, coseno e tangente) del doppio arco è doppio di quello dell'arco, per esempio:
Se l'arco è uguale a 30°, il tuo doppio arco sarà di 60°. Sin 30° = 1/2, sin 60° = √3/2, quindi vediamo che anche se 60° è doppio 30°, sin 60° non è doppio sin 30°. Possiamo applicare questa stessa situazione con molti altri archi e funzioni trigonometriche, tuttavia raggiungeremo la stessa conclusione.
In generale, si consideri un qualsiasi arco di misura β, il suo doppio arco sarà 2β, quindi, peccato β ≠ peccato 2β, cioè peccato 2β ≠ 2. peccato .
Quindi, per trovare il valore delle funzioni trigonometriche di un arco doppio (sin 2β, cos 2β e tg 2β) dovremo seguire alcune relazioni, tra un arco β e il suo doppio arco 2β.
Queste relazioni saranno realizzate attraverso il funzioni trigonometriche di addizione dell'arco. Vedi come:

• Cos 2β
Secondo la somma degli archi, cos 2β è uguale a:
cos 2β = cos (β + β) = cos β. cos β – peccato β. peccato β
Unendo i termini simili avremo:
cos 2β = cos (β + β) = cos² - peccato² β
Pertanto, il calcolo di cos 2β verrà effettuato utilizzando la seguente formula:
cos2β = cos² - peccato² β
• Sen 2β
Secondo la somma degli archi, sin 2β è uguale a:
Sen 2β = peccato (β + β) = peccato β. cos β + peccato β. cos
Mettendo in evidenza termini simili avremo:
Sen 2β = peccato (β + β) = 2. peccato. cos
Pertanto, il calcolo di sin 2β verrà effettuato utilizzando la seguente formula:
Sen2β = 2. peccato. cos
• tg 2β
Secondo la somma degli archi, tg 2β è uguale a:
tg 2β = tg (β + β) = tg β + tg β
1 - tg x. tg
Unendo i termini simili avremo:
tg 2β = tg (β + β) = 2 tgβ 
1 - tg²β
Pertanto, il calcolo di tg 2β verrà effettuato utilizzando la seguente formula:
tg2β = 2 tgβ 
1 - tg²β

di Danielle de Miranda
Laureato in Matematica
Squadra scolastica brasiliana

Trigonometria - Matematica - Brasile Scuola

Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcoes-trigonometricas-arco-duplo.htm