Esercizi di interesse composto

L'interesse composto rappresenta la correzione applicata a un importo preso in prestito o applicato. Questo tipo di correzione è anche chiamato interesse sugli interessi.

In quanto contenuto di grande applicabilità, compare frequentemente in concorsi, esami di ammissione e su Enem. Pertanto, utilizza le domande seguenti per verificare la tua conoscenza di questo contenuto.

Domande commentate

1) Enem - 2018

Un contratto di finanziamento prevede che al pagamento anticipato di una rata venga concessa una riduzione degli interessi in funzione del periodo di anticipo. In questo caso viene pagato il valore attuale, che è il valore in quel momento, di un importo che dovrebbe essere pagato in una data futura. Un valore attuale P sottoposto ad interesse composto al tasso i, per un periodo di tempo n, produce un valore futuro V determinato dalla formula

In un contratto di prestito con sessanta rate fisse mensili, di R$ 820,00, ad un tasso di interesse dell'1,32% al mese, insieme con la trentesima rata verrà anticipata un'altra rata, purché lo sconto sia superiore al 25% del valore della porzione.

Usa 0.2877 come approssimazione per e 0,0131 come approssimazione a ln (1,0132).
La prima delle rate che si possono anticipare insieme alla 30 è la

a) 56°
b) 55
c) 52°
d) 51°
e) 45

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Nella domanda proposta, vogliamo scoprire quale rata, applicando la riduzione degli interessi in caso di pagamento anticipato, l'importo pagato ha uno sconto superiore al 25%, ovvero:

Semplificando la frazione (dividendo alto e basso per 25), scoprendo che l'importo da pagare per la rata anticipata deve essere:

La rata anticipata corrisponde al valore futuro corretto al valore attuale, cioè scontato dell'1,32% di interessi al momento del pagamento di tale rata prima del termine, ovvero:

Dove n è uguale al periodo da anticipare. Sostituendo questa espressione nella precedente, abbiamo:

Poiché 820 appare su entrambi i lati della disuguaglianza, possiamo semplificare, "tagliando" questo valore:

Possiamo invertire le frazioni, facendo attenzione ad invertire anche il segno di disuguaglianza. Quindi, la nostra espressione è:

Nota che il valore che vogliamo trovare è nell'esponente (n). Pertanto, per risolvere la disuguaglianza applicheremo il logaritmo naturale (ln) su entrambi i lati della disuguaglianza, ovvero:

Ora, possiamo sostituire i valori indicati nell'istruzione e trovare il valore di n:

Poiché n deve essere maggiore del valore trovato, allora dovremo anticipare 22 rate, cioè pagheremo la 30a rata insieme alla 52a ( 30 + 22 = 52).

Alternativa: c) 52°

2) Enem - 2011

Un giovane investitore deve scegliere quale investimento gli porterà il massimo ritorno finanziario con un investimento di R$ 500,00. Per fare ciò, ricerca il reddito e l'imposta da pagare su due investimenti: risparmio e CDB (certificato di deposito bancario). Le informazioni ottenute sono riassunte nella tabella:

Per il giovane investitore, alla fine di un mese, l'applicazione più vantaggiosa è

a) risparmio, in quanto ammonterà a R$502,80.
b) risparmio, in quanto ammonterà a un importo di R$ 500,56.
c) il CDB, in quanto ammonterà a un importo di R$504.38.
d) il CDB, in quanto ammonterà a un importo di R$504.21.
e) il CDB, in quanto ammonterà a un importo di R$ 500,87.

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Per scoprire qual è il rendimento migliore, calcoliamo quanto renderà ciascuno alla fine di un mese. Quindi iniziamo calcolando il reddito da risparmio.

Considerando i dati del problema, abbiamo:

c = BRL 500,00
io = 0,560% = 0,0056 del mattino
t = 1 mese
M = ?

Sostituendo questi valori nella formula dell'interesse composto, abbiamo:

M = C (1+i)^t
M_risparmio = 500 (1 + 0,0056)¹
M_risparmio = 500.1,0056
M_risparmio = BRL 502,80

Poiché in questo tipo di applicazione non è previsto lo sconto sull'imposta sul reddito, quindi questo sarà l'importo riscattato.

Ora calcoleremo i valori per il CDB. Per questa applicazione il tasso di interesse è pari allo 0,876% (0,00876). Sostituendo questi valori abbiamo:

M_CBD = 500 (1+0,00876)¹
M_CBD = 500.1,00876
M_CBD = BRL 504.38

Questo importo non sarà l'importo ricevuto dall'investitore, poiché in questa applicazione è previsto uno sconto del 4%, relativa all'imposta sul reddito, che dovrebbe essere applicata sugli interessi percepiti, come indicato sotto:

J = M - DO
J = 504.38 - 500 = 4.38

Dobbiamo calcolare il 4% di questo valore, basta fare:

4,38.0,04 = 0,1752

Applicando questo sconto al valore troviamo:

504.38 - 0.1752 = BRL 504.21

Alternativa: d) il CDB, in quanto ammonterà a un importo di R$504.21.

3) UERJ - 2017

Un capitale di Creais è stato investito con un interesse composto del 10% al mese e ha generato, in tre mesi, un importo di 53.240 R$. Calcola il valore, in reais, della capitale iniziale C.

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Abbiamo i seguenti dati nel problema:

M = BRL 53240.00
i = 10% = 0,1 al mese
t = 3 mesi
C = ?

Sostituendo questi dati nella formula dell'interesse composto, abbiamo:

M = C (1+i)^t
53240 = C (1+0.1)³
53240 = 1.331 C

4) Fuvest - 2018

Maria vuole comprare una TV che viene venduta per R$ 1.500,00 in contanti o in 3 rate mensili senza interessi di R$ 500,00. I soldi che Maria ha messo da parte per questo acquisto non sono sufficienti per pagare in contanti, ma ha scoperto che la banca offre un investimento finanziario che guadagna l'1% al mese. Dopo aver fatto i calcoli, Maria ha concluso che se paga la prima rata e, lo stesso giorno, applica la importo residuo, potrai pagare le due rate residue senza dover mettere o prendere un cent nemmeno. Quanto ha messo da parte Maria per questo acquisto, in reais?

a) 1.450,20
b) 1.480,20
c) 1.485,20
d) 1.495,20
e) 1.490,20

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In questo problema, dobbiamo fare l'equivalenza dei valori, cioè conosciamo il valore futuro che deve essere pagato in ogni rata e vogliamo conoscere il valore attuale (capitale che verrà applicato).

Per questa situazione utilizziamo la seguente formula:

Considerando che la domanda dovrebbe fruttare BRL 500,00 al momento del pagamento della seconda rata, che avverrà 1 mese dopo il pagamento della prima rata, abbiamo:

Per pagare la terza rata anche di R$500,00, l'importo verrà applicato per 2 mesi, quindi l'importo applicato sarà pari a:

Pertanto, l'importo che Maria ha accantonato per l'acquisto è pari alla somma delle somme applicate con l'importo della prima rata, ovvero:

V = 500 + 495,05 + 490,15 = BRL 1.485,20

Alternativa: c) BRL 1.485,20

5) UNESP - 2005

Mário ha preso un prestito di R $ 8.000,00 al 5% di interesse al mese. Due mesi dopo, Mário ha pagato R$ 5.000,00 del prestito e, un mese dopo questo pagamento, ha saldato tutto il suo debito. Il valore dell'ultimo pagamento è stato:

a) BRL 3.015.
b) BRL 3.820,00.
c) BRL 4.011,00.
d) BRL 5,011.00.
e) BRL 5.250,00.

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Sappiamo che il prestito è stato pagato in due rate e che abbiamo i seguenti dati:

V_P = 8000
i = 5% = 0,05 a.m
V_F1 = 5000
V_F2 = x

Considerando i dati e facendo l'equivalenza delle maiuscole, si ha:

Alternativa: c) R$ 4.011,00.

6) PUC/RJ - 2000

Una banca applica un tasso di interesse dell'11% al mese sul suo servizio di scoperto. Per ogni 100 reais di scoperto, la banca addebita 111 nel primo mese, 123,21 nel secondo e così via. Su un importo di 100 reais, alla fine di un anno la banca addebiterà circa:

a) 150 reais.
b) 200 reais
c) 250 reais.
d) 300 reais.
e) 350 reais.

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Dalle informazioni fornite nel problema, abbiamo rilevato che la correzione dell'importo addebitato dallo scoperto è per anatocismo.

Si noti che l'importo addebitato per il secondo mese è stato calcolato considerando l'importo già corretto per il primo mese, ovvero:

J = 111. 0.11 = BRL 12.21

M = 111 + 12,21 = BRL 123,21

Pertanto, per trovare l'importo che la banca addebiterà alla fine di un anno, applichiamo la formula dell'interesse composto, ovvero:

M = C (1+i)^t

Essere:

C = BRL 100.00
i = 11% = 0,11 al mese
t = 1 anno = 12 mesi
M = 100 (1+0.11)¹²
M = 100.1.11¹²
M = 100,3,498

Alternativa: e) 350 reais

Per saperne di più su questo argomento, leggi anche:

• Percentuale
• Come calcolare la percentuale?
• Esercizi sulle percentuali
• Formule matematiche
• Matematica in Enem