IL media geometrica insieme alla media aritmetica e alla media armonica furono sviluppate dalla scuola pitagorica. A statistica è abbastanza comune cercare rappresentazione di un set di dati da un singolo valore per il processo decisionale. Una delle possibilità per il valore centrale è la media geometrica.
È utile per rappresentare un insieme che ha dati che si comportano vicino a a progressione geometrica, anche per trovare il lato di piazza e cubo, conoscendo rispettivamente l'area e il volume. La media geometrica si applica anche in situazioni di accumulo di aumento o diminuzione percentuale. Per calcolare la media geometrica di un insieme di n valori, calcoliamo il ennesima radice del prodotto degli elementi, cioè se un insieme ha tre termini, ad esempio, moltiplichiamo i tre e calcoliamo la radice cubica del prodotto.
Formula media geometrica
La media geometrica viene utilizzata per trovare a
valore medio tra un insieme di dati. Per calcolare la media geometrica è necessario un insieme con due o più elementi. Sia A un insieme di dati A = (x1, X2, X3,... Xno), un insieme con n elementi, la media geometrica di questo insieme è calcolata da:
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Calcolo della media geometrica
Sia A = {3,12,16,36}, quale sarà la media geometrica di questo insieme?
Risoluzione:
Per calcolare la media geometrica, contiamo prima il numero di termini nell'insieme, nel caso n = 4. Quindi dobbiamo:
Metodo 1: Esecuzione delle moltiplicazioni.
Poiché non sempre disponiamo di un calcolatore per eseguire il moltiplicazioni, è possibile effettuare il calcolo in base alla fattorizzazione di a numero naturale.
Metodo 2: Fattorizzazione.
Usando le fattorizzazioni dobbiamo:
Applicazioni della media geometrica
La media geometrica può essere applicata a qualsiasi set di dati statistici, ma in genere è impiegato in geometria, per confrontare lati di prismi e cubi dello stesso volume, o quadrati e rettangoli della stessa area. C'è anche un'applicazione in problemi di matematica finanziaria che comportano un tasso percentuale cumulato, ovvero, percentuale sotto percentuale. Oltre ad essere il mezzo più conveniente per dati che si comporta come una progressione geometrica.
Esempio 1: Applicazione in percentuale.
Un prodotto, per tre mesi, ha avuto incrementi consecutivi, il primo del 20%, il secondo del 10% e il terzo del 25%. Qual è stato l'incremento percentuale medio alla fine di questo periodo?
Risoluzione
Il prodotto inizialmente costava il 100%, nel primo mese ha iniziato a costare il 120%, che, nella sua forma decimale, è scritto come 1.2. Questo ragionamento sarà lo stesso per i tre incrementi, quindi vogliamo la media geometrica tra: 1.2; 1,1; e 1.25.
L'aumento è in media del 18,2% al mese.
Vedi anche: Calcolo percentuale con regola del tre
Esempio 2: Applicazione in geometria.
Quale dovrebbe essere il valore di x nell'immagine, sapendo che il quadrato e il rettangolo hanno la stessa area?
Risoluzione:
Per trovare il valore x del lato del quadrato, calcoleremo la media geometrica tra i lati del rettangolo.
Quindi il lato del quadrato misura 12 cm.
Esempio 3: Progressione geometrica.
Quali sono i termini di P.G., sapendo che il predecessore del valore centrale è x, il valore centrale è 10 e il successore del valore centrale è 4x.
Risoluzione:
Conosciamo i termini di P.G. (x, 10.4x) e sappiamo che la media geometrica tra successore e predecessore è uguale al termine centrale del P.G., quindi dobbiamo:
Differenza tra media geometrica e media aritmetica
In statistica, il modo in cui si comportano i dati è molto importante per scegliere un singolo valore che li rappresenti. Ecco perché ci sono tipi di misure centrali e ci sono tipi di media.
La scelta di quale media utilizzare va fatta tenendo conto del data set su cui stiamo lavorando. Come visto nell'esempio, se si tratta di dati che si comportano vicino a una progressione geometrica e hanno la crescita più esponenziale, si consiglia la media geometrica.
In altre situazioni, principalmente usiamo il Media aritmetica, ad esempio, il peso medio di un individuo nel corso dell'anno. Quando si confronta il calcolo di due tipi di media per lo stesso set di dati, la geometria sarà sempre più piccola dell'aritmetica.
Quando confrontiamo la formula della media aritmetica con la formula della media geometrica, notiamo la differenza, poiché la prima è calcolata da somma di termini divisaIl dalla quantità di termini, mentre la seconda, come abbiamo visto, è calcolata dalla radice n-esima del prodotto di tutti i termini.
Esempio 4: Dato l'insieme (3, 9, 27, 81, 243), rendersi conto che si tratta di un P.G. di rapporto 3, poiché dal primo al secondo termine moltiplichiamo per tre, dal secondo al terzo anche, e così via. Quando si cerca un valore centrale per rappresentare questo insieme, idealmente dovrebbe essere il termine centrale della progressione, cosa che accade se calcoliamo la media geometrica. Tuttavia, quando si calcola la media aritmetica, valori maggiori rendono il valore di questa media troppo alto rispetto a i termini dell'insieme, e maggiore è il valore, più lontana da una rappresentazione del termine centrale sarà la media aritmetica.
Risoluzione:
1a media aritmetica
2a media geometrica
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Esercizi risolti
Domanda 1 - Il prezzo della benzina in Brasile ha subito forti aumenti negli ultimi mesi. Gli incrementi mensili negli ultimi 4 mesi sono stati, rispettivamente, del 9%, 15%, 25% e 16%. Qual è stato l'incremento percentuale medio in questo periodo?
a) 15%
b) 15,5%
c) 16%
d) 14%
e) 14,5%
Risoluzione
Alternativa A
Domanda 2 - Un prisma a base rettangolare ha lo stesso volume di un cubo. Sapendo che le dimensioni del prisma sono lunghe 6 cm, alte 20 cm e larghe 25 cm, qual è il valore in centimetri del lato del cubo?
Risoluzione:
Alternativa D
Di Raul Rodrigues de Oliveira
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/media-geometrica.htm