Calcolo della funzione quadratica

IL funzione quadratica, chiamato anche Funzione polinomiale di 2° grado, è una funzione rappresentata dalla seguente espressione:

f(x) = ax² + bx + c

Dove Il, B e ç sono numeri reali e Il ≠ 0.

Esempio:

f (x) = 2x²+ 3x + 5,

essere,

a = 2
b = 3
c = 5

In questo caso, il polinomio della funzione quadratica è di grado 2, in quanto è il massimo esponente della variabile.

Come risolvere una funzione quadratica?

Dai un'occhiata al passo dopo passo attraverso un esempio di risoluzione della funzione quadratica:

Esempio

Trova a, b e c nella funzione quadratica data da: f (x) = ax² + bx + c, essendo:

f(-1) = 8
f (0) = 4
f(2) = 2

Per prima cosa, sostituiamo il X dai valori di ciascuna funzione e quindi avremo:

f(-1) = 8
a 1)² + b (–1) + c = 8
a - b + c = 8 (equazione I)

f (0) = 4
Il. 0² + b. 0 + c = 4
c = 4 (equazione II)

f(2) = 2
Il. 2² + b. 2 + c = 2
4a + 2b + c = 2 (equazione III)

Con la seconda funzione f (0) = 4, abbiamo già il valore di c = 4.

Quindi, sostituiamo il valore ottenuto con ç nelle equazioni I e III per determinare le altre incognite (Il e B):

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(Equazione I)

a - b + 4 = 8
a - b = 4
a = b + 4

Poiché abbiamo l'equazione di Il per l'equazione I, sostituiamo in III per determinare il valore di B:

(Equazione III)

4a + 2b + 4 = 2
4a + 2b = - 2
4 (b + 4) + 2b = - 2
4b + 16 + 2b = - 2
6b = - 18
b = - 3

Infine, per trovare il valore di Il sostituiamo i valori di B e ç che sono già stati trovati. Presto:

(Equazione I)

a - b + c = 8
a - (-3) + 4 = 8
a = - 3 + 4
a = 1

Pertanto, i coefficienti della data funzione quadratica sono:

a = 1
b = - 3
c = 4

Radici della funzione

Le radici o gli zeri della funzione di secondo grado rappresentano i valori di x tali che f(x) = 0. Le radici della funzione sono determinate risolvendo l'equazione di secondo grado:

f(x) = ax² +bx + c = 0

Per risolvere l'equazione di 2° grado possiamo usare diversi metodi, uno dei più usati è applicare a Formula Bhaskara, cioè:

Esempio

Trova gli zeri della funzione f (x) = x² – 5x + 6.

Soluzione:

Essere
a = 1
b = – 5
c = 6

Sostituendo questi valori nella formula di Bhaskara, abbiamo:

x è uguale al numeratore meno b più o meno radice quadrata di b al quadrato meno 4 a c fine della radice sul denominatore 2 fine della frazione uguale al numeratore 5 più o meno radice quadrata di 25 meno 24 fine della radice sul denominatore 2 fine della frazione x con 1 pedice uguale al numeratore 5 più 1 sopra denominatore 2 fine frazione uguale a 6 su 2 uguale a 3 x con 2 pedice uguale a numeratore 5 meno 1 sopra denominatore 2 fine frazione uguale a 4 sopra 2 è uguale a 2

Quindi le radici sono 2 e 3.

Si noti che il numero di radici di una funzione quadratica dipenderà dal valore ottenuto dall'espressione: = b² – 4. AVANTI CRISTO, che si chiama discriminante.

Così,

Se Δ > 0, la funzione avrà due radici reali e distinte (x₁ x₂);
Se Δ, la funzione non avrà una vera radice;
Se Δ = 0, la funzione avrà due radici reali e uguali (x₁ = x₂).

Grafico della funzione quadratica

Il grafico delle funzioni di 2° grado sono curve che si chiamano parabole. diverso da Funzioni di 1° grado, dove conoscendo due punti è possibile tracciare il grafico, nelle funzioni quadratiche è necessario conoscere più punti.

La curva di una funzione quadratica taglia l'asse x alle radici o agli zeri della funzione, in un massimo di due punti a seconda del valore del discriminante (Δ). Quindi abbiamo:

Se Δ > 0, il grafico taglierà l'asse x in due punti;
Se
Se Δ = 0, la parabola toccherà l'asse x in un solo punto.

C'è ancora un altro punto, chiamato il vertice della parabola, che è il valore massimo o minimo della funzione. Questo punto si trova utilizzando la seguente formula:

x con v pedice uguale al numeratore meno b sopra denominatore 2 fino alla fine della frazione spazio spazio e y spazio con v pedice uguale al numeratore meno incremento sopra il denominatore 4 fino alla fine della frazione

Il vertice rappresenterà il punto di massimo valore della funzione quando la parabola è rivolta verso il basso e il valore minimo quando è rivolta verso l'alto.

È possibile identificare la posizione della concavità della curva analizzando solo il segno del coefficiente Il. Se il coefficiente è positivo, la concavità sarà rivolta verso l'alto e se è negativa, sarà verso il basso, cioè:

Concavità del grafico della funzione quadratica

Quindi, per tracciare il grafico di una funzione di 2° grado, possiamo analizzare il valore di Il, calcola gli zeri della funzione, il suo vertice e anche il punto in cui la curva taglia l'asse y, cioè quando x = 0.

Dalle coppie ordinate date (x, y), possiamo costruire la parabola num piano cartesiano, attraverso la connessione tra i punti trovati.

Esercizi per l'esame di ammissione con feedback

1. (Vunesp-SP) Tutti i possibili valori di m che soddisfano la disuguaglianza 2x² – 20x – 2m > 0, per tutti X appartenenti all'insieme dei reais, sono dati da:

a) m > 10
b) m > 25
c) m > 30
d) m e) m

Vedi risposta

Alternativa b) m > 25

2. (EU-CE) Il grafico della funzione quadratica f (x) = ax² + bx è una parabola il cui vertice è il punto (1, – 2). Il numero di elementi dell'insieme x = {(– 2, 12), (–1,6), (3,8), (4, 16)} che appartengono al grafico di questa funzione è:

a 1
b) 2
c) 3
d) 4

Vedi risposta

Alternativa b) 2

3. (Cefet-SP) Sapendo che le equazioni di un sistema sono x. y = 50 e x + y = 15, i possibili valori per X e sì sono:

a) {(5.15), (10.5)}
b) {(10,5), (10,5)}
c) {(5.10), (15.5)}
d) {(5.10), (5.10)}
e) {(5.10), (10.5)}

Vedi risposta

Alternativa e) {(5.10), (10.5)}