Matrici: esercizi commentati e risolti

Matrix è una tabella formata da numeri reali, disposti in righe e colonne. I numeri che compaiono nella matrice sono chiamati elementi.

Approfitta delle domande dell'esame di ammissione risolte e commentate per chiarire tutti i tuoi dubbi su questo contenuto.

Problemi relativi all'esame di ammissione risolti

1) Unicamp - 2018

Siano aeb numeri reali tali che la matrice A = parentesi aperte riga della tabella con 1 2 righe con 0 1 fine della tabella parentesi chiuse soddisfa l'equazione A²= aA + bI, dove I è la matrice identità di ordine 2. Quindi il prodotto ab è uguale a

a) -2.
b) −1.
c) 1.
d) 2.

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Per scoprire il valore del prodotto a.b, dobbiamo prima conoscere il valore di a e b. Quindi consideriamo l'equazione data nel problema.

Per risolvere l'equazione, calcoliamo il valore di A², che si ottiene moltiplicando la matrice A per se stessa, ovvero:

Un quadrato uguale a parentesi quadre aperte riga della tabella con 1 2 riga con 0 1 fine della tabella chiude le parentesi quadre. parentesi aperte riga della tabella con 1 2 righe con 0 1 fine della tabella parentesi chiuse

Questa operazione viene eseguita moltiplicando le righe della prima matrice per le colonne della seconda matrice, come mostrato di seguito:

In questo modo la matrice A² è lo stesso di:

Un quadrato è uguale a parentesi quadre aperte riga della tabella con 1 4 righe con 0 1 fine della tabella parentesi quadre chiuse

Considerando il valore appena trovato e ricordando che nella matrice identità gli elementi della diagonale principale sono uguali a 1 e gli altri elementi sono uguali a 0, l'equazione sarà:

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parentesi aperta tabella riga con 1 4 riga con 0 1 fine tabella parentesi chiusa uguale a. tabella parentesi aperta riga con 1 2 riga con 0 1 fine tabella parentesi chiusa altro b. parentesi aperte riga della tabella con 1 0 riga con 0 1 fine della tabella parentesi chiuse

Ora dobbiamo moltiplicare la matrice A per il numero ae la matrice identità per il numero b.

Ricorda che per moltiplicare un numero per un array, moltiplichiamo il numero per ogni elemento dell'array.

Quindi, la nostra uguaglianza sarà uguale a:

parentesi aperte tabella riga con 1 4 righe con 0 1 fine della tabella parentesi chiuse uguale a parentesi aperte riga della tabella con cella da 2 a fine della cella riga con 0 fine della tabella chiudi parentesi quadre più aperte parentesi quadre riga della tabella con b 0 riga con 0 b fine della tabella chiudi parentesi

Sommando le due matrici si ha:

parentesi aperte riga della tabella con 1 4 righe con 0 1 fine della tabella parentesi chiuse uguale alle parentesi aperte riga della tabella con cella con un più b fine della cella con 2 fine della cella riga con 0 cella con un più b fine della cella fine della tabella chiudi parentesi

Due matrici sono uguali quando tutti gli elementi corrispondenti sono uguali. In questo modo possiamo scrivere il seguente sistema:

chiavi aperte attributi della tabella allineamento delle colonne attributi di estremità sinistra riga con cella con a più b uguale a 1 fine della cella riga con cella con 2 a uguale a 4 fine della cella fine della tabella chiudi

Isolando a nella seconda equazione:

Da 2 a 4 doppia freccia destra uguale a 4 su 2 doppia freccia destra uguale a 2

Sostituendo il valore trovato per a nella prima equazione, troviamo il valore di b:

2 + b = 1
b = 1 - 2
b = -1

Il prodotto sarà quindi dato da:

Il. b = - 1. 2
Il. b = - 2

Alternativa: a) -2.

2) Unesp - 2016

Un punto P, di coordinate (x, y) del piano cartesiano ortogonale, è rappresentato dalla matrice colonna. parentesi aperte riga della tabella con x riga con y fine della tabella parentesi chiuse bracket , così come la matrice colonna rappresenta, nel piano cartesiano ortogonale, il punto P di coordinate (x, y). Quindi, il risultato della moltiplicazione matriciale parentesi quadre aperte riga della tabella con 0 cella con meno 1 fine della cella riga con 1 0 fine della tabella chiude le parentesi quadre. parentesi aperte riga della tabella con x riga con y fine della tabella parentesi chiuse bracket è una matrice colonna che, nel piano cartesiano ortogonale, rappresenta necessariamente un punto che è

a) una rotazione di 180º di P in senso orario e con centro in (0, 0).
b) una rotazione di P di 90° in senso antiorario, con centro in (0, 0).
c) simmetrico di P rispetto all'asse orizzontale x.
d) simmetrico di P rispetto all'asse verticale y.
e) una rotazione di P di 90° in senso orario e con centro in (0, 0).

Vedi risposta

Il punto P è rappresentato da una matrice, tale che l'ascissa (x) è indicata dall'elemento a.₁₁ e l'ordinata (y) per elemento a₂₁della matrice.

Per trovare la nuova posizione del punto P, dobbiamo risolvere la moltiplicazione delle matrici presentate e il risultato sarà:

Il risultato rappresenta la nuova coordinata del punto P, cioè l'ascissa è uguale a -y e l'ordinata è uguale a x.

Per identificare la trasformazione subita dalla posizione del punto P, rappresentiamo la situazione nel piano cartesiano, come di seguito indicato:

Pertanto, il punto P, che inizialmente si trovava nel 1° quadrante (ascisse e ordinate positive), si è spostato nel 2° quadrante (ascisse e ordinate positive).

Quando ci si sposta in questa nuova posizione, il punto è stato ruotato in senso antiorario, come rappresentato nell'immagine sopra dalla freccia rossa.

Dobbiamo ancora identificare quale fosse il valore dell'angolo di rotazione.

Collegando la posizione originaria del punto P al centro dell'asse cartesiano e facendo lo stesso rispetto alla sua nuova posizione P', si ha la seguente situazione:

Si noti che i due triangoli indicati nella figura sono congruenti, cioè hanno le stesse misure. In questo modo, anche i loro angoli sono gli stessi.

Inoltre, gli angoli α e sono complementari, poiché la somma degli angoli interni dei triangoli è pari a 180º e poiché il triangolo è rettangolo, la somma di questi due angoli sarà pari a 90º.

Pertanto, l'angolo di rotazione del punto, indicato nella figura con, può essere solo pari a 90º.

Alternativa: b) una rotazione di 90° di P in senso antiorario, con centro in (0, 0).

3) Unicamp - 2017

Poiché a è un numero reale, si consideri la matrice A = aprire la riga della tabella delle parentesi con 1 riga con 0 celle con meno 1 fine della cella fine della tabella chiudere le parentesi . Così il²⁰¹⁷ è lo stesso di
Il) apri la tabella delle parentesi riga con 1 0 riga con 0 1 fine della tabella chiudi le parentesi
B)
ç)
d)

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Per prima cosa, proviamo a trovare uno schema per le potenze, dal momento che moltiplicare la matrice A per se stessa per 2017 è molto faticoso.

Ricordando che nella moltiplicazione matriciale, ogni elemento si trova sommando i risultati della moltiplicazione degli elementi della riga dell'uno per gli elementi della colonna dell'altro.

Iniziamo calcolando A²:

apre la riga della tabella delle parentesi con 1 riga con 0 celle con meno 1 fine della cella la fine della tabella chiude lo spazio delle parentesi. spazio aperto parentesi tabella riga con 1 riga con 0 cella con meno 1 fine della cella fine della tabella chiusa parentesi uguale alla riga della tabella delle parentesi aperte con cella con 1.1 più a.0 fine della cella cella con spazio spazio 1. il più a. parentesi sinistra meno 1 parentesi destra fine della riga della cella alla cella con 0,1 più 0. parentesi sinistra meno 1 cella della parentesi destra cella finale con 0. più parentesi sinistra meno 1 parentesi destra. parentesi sinistra meno 1 parentesi destra fine cella fine tabella chiude parentesi uguale parentesi aperta riga tabella con 1 0 riga con 0 1 fine tabella chiude parentesi

Il risultato è stata la matrice identità, e quando moltiplichiamo una qualsiasi matrice per la matrice identità, il risultato sarà la matrice stessa.

Pertanto, il valore di A³ sarà uguale alla matrice A stessa, perché A³ = A². IL.

Questo risultato verrà ripetuto, cioè quando l'esponente è pari il risultato è la matrice identità e quando è dispari sarà la matrice A stessa.

Poiché il 2017 è dispari, il risultato sarà uguale alla matrice A.

Alternativa: b) aprire la riga della tabella delle parentesi con 1 riga con 0 celle con meno 1 fine della cella fine della tabella chiudere le parentesi

4) UFSM - 2011

Il diagramma fornito rappresenta la catena alimentare semplificata di un dato ecosistema. Le frecce indicano la specie di cui si nutre l'altra specie. Attribuendo un valore 1 quando una specie si nutre di un'altra e zero, quando avviene il contrario, si ha la seguente tabella:

La matrice A = (a_ij)_4x4, associata alla tabella, ha la seguente legge sulla formazione:

parentesi destra uno spazio con i j pedice fine del pedice uguale alle chiavi aperte attributi della tabella allineamento delle colonne fine sinistra degli attributi riga con cella con 0 virgola s spazio e i spazio minore o uguale a j fine della riga della cella con cella con 1 virgola s spazio e i spazio maggiore di j fine della cella chiusura della fine della tabella b parentesi chiusa spazio a con i j pedice fine del pedice uguale alle chiavi aperte attributi della tabella allineamento delle colonne fine sinistra degli attributi riga con cella con 0 virgola s spazio e i spazio uguale a j fine della cella riga con cella con 1 virgola spazio s e i spazio non uguale j fine della cella fine della tabella chiusa c parentesi chiusa spazio a con i j pedice fine del pedice uguale a apre le chiavi attributi della tabella allineamento delle colonne attributi di fine sinistra riga con cella con 0 virgola s spazio e i spazio maggiore o uguale a j fine della cella riga con cella con 1 virgola s spazio e i spazio minore di j fine della cella fine della tabella chiusa d parentesi chiusa uno spazio con i j pedice fine del pedice uguale a chiavi aperte attributi di allineamento della colonna della tabella estremità sinistra degli attributi riga con cella con 0 virgola s spazio e i spazio non uguale j fine della cella riga con cella con 1 virgola s spazio e i spazio uguale a j fine della cella fine della tabella chiusa e parentesi destra uno spazio con i j pedice fine del pedice uguale chiavi aperte attributi della tabella allineamento delle colonne estremità sinistra degli attributi riga con cella con 0 virgola s spazio e i spazio minore di j fine della cella riga con cella con 1 virgola s spazio e i spazio maggiore di j fine della cella fine di il tavolo si chiude

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Poiché il numero di riga è indicato da i e il numero di colonna indicato da j, e guardando la tabella, notiamo che quando i è uguale a j, oppure i è maggiore di j, il risultato è zero.

Le posizioni occupate da 1 sono quelle in cui il numero di colonna è maggiore del numero di riga.

Alternativa: c) a con i j pedice fine del pedice uguale a chiavi aperte attributi della tabella allineamento delle colonne fine sinistra degli attributi riga con cella con 0 virgola s spazio e i spazio maggiore o uguale a j fine della cella riga con cella con 1 virgola s spazio e i spazio minore di j fine della cella fine della tabella chiude

5) Unesp - 2014

Si consideri l'equazione matriciale A + BX = X + 2C, la cui incognita è la matrice X e tutte le matrici sono quadrati di ordine n. La condizione necessaria e sufficiente affinché questa equazione abbia un'unica soluzione è che:

a) B – I ≠ O, dove I è la matrice identità di ordine n e O è la matrice nulla di ordine n.
b) B è invertibile.
c) B ≠ O, dove O è la matrice nulla di ordine n.
d) B – I è invertibile, dove I è la matrice identità di ordine n.
e) A e C sono invertibili.

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Per risolvere l'equazione della matrice, dobbiamo isolare la X su un lato del segno di uguale. Per fare ciò, sottraiamo inizialmente la matrice A su entrambi i lati.

A - A + BX = X + 2C - A
BX = X + 2C - LA

Ora, sottraiamo la X, anche su entrambi i lati. In questo caso, l'equazione sarà:

BX - X = X - X + 2C - LA
BX - X = 2C - LA
X.(B - I) =2C - A

Poiché I è la matrice identità, quando moltiplichiamo una matrice per l'identità, il risultato è la matrice stessa.

Quindi, per isolare la X dobbiamo ora moltiplicare entrambi i lati del segno di uguale per la matrice inversa di (B-I), ovvero:

X. (B - I) (B - I) ^{- 1} = (B - io) ^{- 1}. (2C - A)

Ricordando che quando una matrice è invertibile, il prodotto della matrice per l'inversa è uguale alla matrice identità.
X = (B - I) ^{- 1}. (2C - A)

Pertanto, l'equazione avrà una soluzione quando B - I è invertibile.

Alternativa: d) B – I è invertibile, dove I è la matrice identità di ordine n.

6) Enem - 2012

Uno studente registrava in una tabella i voti bimestrali di alcuni suoi soggetti. Notò che le voci numeriche nella tabella formavano una matrice 4x4 e che poteva calcolare le medie annuali per queste discipline usando il prodotto delle matrici. Tutti i test avevano lo stesso peso e la tabella che ha ottenuto è mostrata di seguito

Per ottenere queste medie, moltiplicò la matrice ottenuta dalla tabella per

parentesi aperta spazio parentesi quadre aperte riga della tabella con cella con 1 metà estremità della cella cella con 1 metà estremità della cella cella con 1 metà estremità della cella cella con 1 metà estremità della cella fine della tabella chiude parentesi quadre b parentesi chiusa spazio parentesi quadre aperte tabella riga con 1 quarta cella fine della cella 1 quarta cella fine della cella cella con 1 quarta estremità della cella cella con 1 quarta estremità della cella fine della tabella parentesi chiusa c parentesi aperta spazio parentesi aperta tabella 1 riga 1 riga 1 riga 1 riga con 1 fine della tabella parentesi chiuse d parentesi chiusa spazio parentesi aperte riga della tabella con cella con 1 metà fine della cella riga con cella con 1 metà fine della riga della cella con cella con 1 metà fine della cella riga con cella con 1 metà fine della cella fine della tabella chiudi parentesi quadre e spazio tra parentesi quadre apri la tabella tra parentesi quadre riga con cella con 1 quarta estremità della riga della cella con cella con 1/4 dell'estremità della cella riga con cella con 1/4 dell'estremità della riga della cella con cella con 1/4 dell'estremità della cella fine della tabella chiudi parentesi

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La media aritmetica viene calcolata sommando tutti i valori e dividendo per il numero di valori.

Pertanto, lo studente deve sommare i voti dei 4 bimestri e dividere il risultato per 4 o moltiplicare ogni voto per 1/4 e sommare tutti i risultati.

Usando le matrici, possiamo ottenere lo stesso risultato facendo la moltiplicazione di matrici.

Tuttavia, dobbiamo ricordare che è possibile moltiplicare due matrici solo quando il numero di colonne in una è uguale al numero di righe nell'altra.

Poiché la matrice delle note ha 4 colonne, la matrice che andremo a moltiplicare deve avere 4 righe. Quindi, dobbiamo moltiplicare per la matrice colonna:

parentesi quadre aperte riga della tabella con cella 1 quarta estremità della riga della cella con cella 1 quarta estremità della cella riga con cella con 1/4 dell'estremità della cella riga con cella con 1/4 dell'estremità della cella della fine della tabella chiusa parentesi

Alternativa: e

7) Fuvest - 2012

Considera la matrice A uguale a parentesi quadre aperte riga della tabella con cella con 2 più 1 fine della cella riga con cella con meno 1 fine della cella cella con più 1 fine della cella fine della tabella parentesi chiusa , su cosa Il è un numero reale. Sapendo che A ammette A. inversa^-1 la cui prima colonna è aprire parentesi quadre riga della tabella con cella con meno 2 fine della cella riga con cella con meno 1 fine della cella fine della tabella chiudere parentesi quadre , la somma degli elementi della diagonale principale di A^-1 è lo stesso di