IL regola del tre è una procedura utilizzata per risolvere problemi che coinvolgono quantità proporzionali.
Poiché ha un'enorme applicabilità, è molto importante sapere come risolvere i problemi utilizzando questo strumento.
Quindi, approfitta degli esercizi annotati e delle domande risolte del concorso per verificare la tua conoscenza di questo argomento.
Esercizi commentati
Esercizio 1
Per nutrire il tuo cane, una persona spende 10 kg di mangime ogni 15 giorni. Qual è la quantità totale di mangime consumata a settimana, considerando che viene sempre aggiunta la stessa quantità di mangime al giorno?
Soluzione
Bisogna sempre partire dall'identificazione delle grandezze e delle loro relazioni. È molto importante identificare correttamente se le quantità sono direttamente o inversamente proporzionali.
In questo esercizio, la quantità totale di mangime consumato e il numero di giorni sono direttamente proporzionali, poiché più giorni ci sono, maggiore è la quantità totale spesa.
Per visualizzare meglio la relazione tra le quantità, possiamo usare le frecce. La direzione della freccia punta al valore più alto di ciascuna grandezza.
Le quantità le cui coppie di frecce puntano nella stessa direzione sono direttamente proporzionali e quelle che puntano in direzioni opposte sono inversamente proporzionali.
Risolviamo quindi l'esercizio proposto, come mostrato nello schema sottostante:
Risolvendo l'equazione abbiamo:
Pertanto, la quantità di mangime consumata a settimana è di circa 4,7 kg.
Vedi anche: Rapporto e Proporzione
Esercizio 2
Un rubinetto riempie un serbatoio in 6 h. Quanto tempo impiegherà lo stesso serbatoio a riempirsi se si utilizzano 4 rubinetti con la stessa portata del rubinetto precedente?
Soluzione
In questo problema, le quantità coinvolte saranno numero di rubinetti e tempo. Tuttavia, è importante notare che maggiore è il numero di rubinetti, minore è il tempo necessario per riempire il serbatoio.
Pertanto, le quantità sono inversamente proporzionali. In questo caso, quando scriviamo la proporzione, dobbiamo invertire uno dei rapporti, come mostrato nel diagramma sottostante:
Risolvere l'equazione:
Quindi, il serbatoio sarà completamente pieno in 1,5 ore.
Vedi anche: Tre regola semplice e composta
Esercizio 3
In un'azienda, 50 dipendenti producono 200 pezzi, lavorando 5 ore al giorno. Se il numero dei dipendenti si dimezza e il numero di ore lavorative giornaliere si riduce a 8 ore, quanti pezzi verranno prodotti?
Soluzione
Le quantità indicate nel problema sono: numero di dipendenti, numero di pezzi e ore lavorate al giorno. Quindi abbiamo una regola composta del tre (più di due quantità).
In questo tipo di calcolo è importante analizzare separatamente cosa succede all'incognita (x), quando cambiamo il valore delle altre due quantità.
In questo modo, ci siamo resi conto che il numero di parti sarà inferiore se riduciamo il numero di dipendenti, quindi queste quantità sono direttamente proporzionali.
Il numero delle parti aumenta se aumentiamo il numero di ore lavorative giornaliere. Pertanto, sono anche direttamente proporzionali.
Nel diagramma sottostante, indichiamo questo fatto attraverso le frecce, che indicano la direzione crescente dei valori.
Risolvendo la regola del tre abbiamo:
Così, sarà prodotto 160 pezzi.
Vedi anche: Regola dei tre composti
Problemi relativi al concorso risolti
1) Epcar - 2016
Due macchine A e B di modelli diversi, mantenendo ciascuna la propria velocità di produzione costante, producono insieme n parti uguali, impiegando contemporaneamente 2 ore e 40 minuti. La macchina A lavorando da sola, mantenendo costante la sua velocità, produrrebbe, in 2 ore di funzionamento, n/2 di queste parti.
È corretto affermare che la macchina B, mantenendo costante la sua velocità di produzione, produrrebbe anche n/2 di queste parti in
a) 40 minuti.
b) 120 minuti.
c) 160 minuti.
d) 240 minuti.
Dato che il tempo totale di produzione è di 2h e 40 min, e sappiamo già che la macchina A si produce in 2 ore n/2 pezzi, allora scopriamo quanto produce da sola nei restanti 40 min. Per questo, usiamo la regola del tre.
Risolvere la regola del tre:
Questa è la quantità di pezzi prodotti in 40 min dalla macchina A, quindi in 2 h e 40 min produce da sola:
Possiamo quindi calcolare la quantità prodotta dalla macchina B in 2h e 40 min, sottraendo la quantità prodotta dalle due macchine (n) dalla quantità prodotta dalla macchina A:
Ora è possibile calcolare quanto tempo impiegherebbe la macchina B a produrre n/2 pezzi. Per questo, facciamo di nuovo una regola del tre:
Risolvendo la regola del tre abbiamo:
Pertanto, la macchina B produrrà n/2 pezzi in 240 min.
Alternativa d: 240 min
Vedi anche: Grandezze direttamente e inversamente proporzionali
2) Cefet - MG - 2015
In un'azienda, 10 dipendenti producono 150 pezzi in 30 giorni lavorativi. Il numero di dipendenti di cui l'azienda avrà bisogno per produrre 200 pezzi, in 20 giorni lavorativi, è pari a
a) 18
b) 20
c) 22
d) 24
Questo problema implica una regola composta di tre, poiché abbiamo tre quantità: numero di dipendenti, numero di parti e numero di giorni.
Osservando le frecce, identifichiamo che il numero di parti e il numero di dipendenti sono grandezze
direttamente proporzionale. Giorni e numero di dipendenti sono inversamente proporzionali.
Quindi, per risolvere la regola del tre, dobbiamo invertire il numero dei giorni.
Presto serviranno 20 dipendenti.
Alternativa b: 20
Vedi anche: Esercizi con tre regole composte
3) Enem - 2013
Un'industria ha un serbatoio d'acqua con una capacità di 900 m3. Quando è necessario pulire il serbatoio, tutta l'acqua deve essere scaricata. Il drenaggio dell'acqua avviene tramite sei scarichi e dura 6 ore quando il serbatoio è pieno. Questa industria costruirà un nuovo serbatoio, con una capacità di 500 m3, il cui drenaggio dell'acqua dovrebbe essere effettuato in 4 ore, quando il serbatoio è pieno. Gli scarichi utilizzati nel nuovo serbatoio devono essere identici a quelli esistenti.
La quantità di scarichi nel nuovo serbatoio dovrebbe essere pari a
a) 2
b) 4
c) 5
d) 8
e) 9
Questa domanda è una regola di tre composti, essendo le quantità coinvolte la capacità del serbatoio, il numero di scarichi e il numero di giorni.
Dalla posizione delle frecce osserviamo che la portata e il numero di scarichi sono direttamente proporzionali. Il numero di giorni e il numero di scarichi sono inversamente proporzionali, quindi invertiamo il numero di giorni:
Pertanto, saranno necessari 5 scarichi.
Alternativa c: 5
4) UERJ - 2014
Annotare nella tabella il numero di medici attivi iscritti al Consiglio federale di medicina (CFM) e il numero numero di medici che lavorano nel Sistema Sanitario Unificato (SUS), ogni mille abitanti, nelle cinque regioni del Brasile.
SUS offre 1.0 medico per ogni gruppo di x abitanti.
Nella regione Nord, il valore di x è approssimativamente uguale a:
a) 660
b) 1000
c) 1334
d) 1515
Per risolvere il problema, prenderemo in considerazione le grandezze numero di medici SUS e il numero di abitanti nella regione Nord. Pertanto, dobbiamo rimuovere queste informazioni dal grafico presentato.
Facendo la regola del tre con i valori indicati, abbiamo:
Risolvendo la regola del tre abbiamo:
Pertanto, SUS fornisce circa 1 medico ogni 1515 abitanti nella regione Nord.
Alternativa d: 1515
Vedi anche: Semplici esercizi con tre regole
5) Enem - 2017
Alle 17:15 inizia una pioggia battente, che cade con intensità costante. Una piscina a forma di parallelepipedo rettangolare, inizialmente vuota, inizia ad accumulare acqua piovana e, alle 18, il livello dell'acqua al suo interno raggiunge i 20 cm di altezza. In quel momento si apre la valvola che fa uscire il flusso d'acqua attraverso uno scarico posto sul fondo di questa vasca, il cui flusso è costante. Alle 18:40 smette di piovere e, in quel preciso momento, il livello dell'acqua nella piscina è sceso a 15 cm.
Il momento in cui l'acqua in questa piscina finisce di drenare completamente è tra
a) 19 h 30 min e 20 h 10 min
b) 19 h 20 min e 19 h 30 min
c) 19 h 10 min e 19 h 20 min
d) 19:00 e 19:00 10 min
e) 18 h 40 min e 19 h
Le informazioni ci dicono che in 45 minuti di pioggia, l'altezza dell'acqua della piscina è salita a 20 cm. Trascorso tale tempo, la valvola di scarico è stata aperta, tuttavia ha continuato a piovere per 40 min.
Calcoliamo quindi l'altezza dell'acqua che è stata aggiunta alla piscina in questo intervallo di tempo, utilizzando la seguente regola del tre:
Calcolando questa regola del tre, abbiamo:
Ora calcoliamo la quantità di acqua che è stata scaricata da quando è stato aperto lo scarico. Questa quantità sarà uguale alla somma dell'acqua che è stata aggiunta, meno la quantità che esiste ancora nella piscina, cioè:
Sono quindi volati 205/9 cm di acqua dall'apertura dello scarico (40 min). Ora calcoliamo quanto tempo ci vorrà per drenare la quantità rimasta nella piscina dopo che ha smesso di piovere.
Per questo, usiamo un'altra regola su tre:
Calcolando abbiamo:
Pertanto, la piscina sarà vuota in circa 26 min. Aggiungendo questo valore all'istante in cui finisce la pioggia, si svuoterà a circa 19:6 min.
Alternativa d: 19:00 e 19:00 10 min
Per saperne di più leggi anche:
- Percentuale
- Esercizi sulle percentuali
- Matematica in Enem
- Esercizi su Rapporto e Proporzione
