L'area della figura piatta rappresenta l'estensione dell'estensione della figura nel piano. Come figure piatte, possiamo citare il triangolo, il rettangolo, il rombo, il trapezio, il cerchio, tra gli altri.
Usa le domande seguenti per verificare la tua conoscenza di questo importante argomento della geometria.
Problemi relativi al concorso risolti
domanda 1
(Cefet/MG - 2016) L'area quadrata di un sito deve essere divisa in quattro parti uguali, anch'esse quadrate, e, in uno di essi deve essere mantenuta una riserva forestale nativa (area tratteggiata), come mostrato in figura a Seguire.
Sapendo che B è il punto medio del segmento AE e C è il punto medio del segmento EF, l'area tratteggiata, in m2, mi dia
a) 625.0.
b) 925,5.
c) 1562.5.
d) 2500.0.
Alternativa corretta: c) 1562.5.
Osservando la figura, notiamo che l'area tratteggiata corrisponde all'area del quadrato di lato 50 m meno l'area dei triangoli BEC e CFD.
La misura del lato BE, del triangolo BEC, è pari a 25 m, in quanto il punto B divide il lato in due segmenti congruenti (punto medio del segmento).
Lo stesso accade con i lati EC e CF, cioè anche le loro misure sono pari a 25 m, poiché il punto C è il punto medio del segmento EF.
Pertanto, possiamo calcolare l'area dei triangoli BEC e CFD. Considerando due lati noti come base, l'altro lato sarà uguale all'altezza, poiché i triangoli sono rettangoli.
Calcolando l'area del quadrato e dei triangoli BEC e CFD, abbiamo:
Pertanto, l'area tratteggiata, in m2, misura 1562.5.
Domanda 2
(Cefet/RJ - 2017) Un quadrato con lato x e un triangolo equilatero con lato y hanno aree della stessa misura. Quindi, si può dire che il rapporto x/y è uguale a:
Alternativa corretta: .
Le informazioni fornite nel problema sono che le aree sono le stesse, ovvero:
L'area del triangolo si trova moltiplicando la misura della base per la misura dell'altezza e dividendo il risultato per 2. Poiché il triangolo è equilatero e il lato uguale a y, il suo valore di altezza è dato da:
Pertanto, si può dire che il rapporto x/y è uguale a .
Domanda 3
(IFSP - 2016) Una piazza pubblica a forma di cerchio ha un raggio di 18 metri. Alla luce di quanto sopra, segna l'alternativa che presenta la tua zona.
a) 1.017,36 m2
b) 1.254,98 m2
c) 1.589,77 m2
d) 1.698,44 m2
e) 1.710,34 m2
Alternativa corretta: a) 1 017, 36 m2.
Per trovare l'area del quadrato, dobbiamo usare la formula per l'area del cerchio:
A = π.R2
Sostituendo il valore del raggio e considerando π = 3.14, troviamo:
A = 3,14. 182 = 3,14. 324 = 1 017, 36 m2
Pertanto, l'area quadrata è 1 017, 36 m2.
domanda 4
(IFRS - 2016) Un rettangolo ha dimensioni x e y, che sono espresse dalle equazioni x2 = 12 e (y - 1)2 = 3.
Il perimetro e l'area di questo rettangolo sono rispettivamente
a) 6√3 + 2 e 2 + 6√3
b) 6√3 e 1 + 2√3
c) 6√3 + 2 e 12
d) 6 e 2√3
e) 6√3 + 2 e 2√3 + 6
Alternativa corretta: e) 6√3 + 2 e 2√3 + 6.
Per prima cosa risolviamo le equazioni, per trovare i valori di x e y:
X2= 12 ⇒ x = √12 = √4.3 = 2√3
(s - 1) 2= 3 ⇒ y = √3 + 1
Il perimetro del rettangolo sarà uguale alla somma di tutti i lati:
P = 2,2√3 + 2. (√3 + 1) = 4√3 + 2√3 + 2 = 6√3 + 2
Per trovare l'area basta moltiplicare x.y:
A = 2√3. (√3 + 1) = 2√3 + 6
Pertanto, il perimetro e l'area del rettangolo sono, rispettivamente, 6√3 + 2 e 2√3 + 6.
domanda 5
(Apprendista Marinaio - 2016) Analizzare la seguente figura:
Sapendo che EP è il raggio del semicerchio centrale in E, come mostrato nella figura sopra, determinare il valore dell'area più scura e controllare l'opzione corretta. Dati: numero π=3
a) 10 cm2
b) 12 cm2
c) 18 cm2
d) 10 cm2
e) 24 cm2
Alternativa corretta: b) 12 cm2.
L'area più scura si trova aggiungendo l'area della semicirconferenza all'area del triangolo ABD. Iniziamo calcolando l'area del triangolo, per questo, nota che il triangolo è un rettangolo.
Chiamiamo il lato AD di x e calcoliamo la sua misura utilizzando il teorema di Pitagora, come indicato di seguito:
52= x2 + 32
X2 = 25 - 9
x = √16
x = 4
Conoscendo la misura sul lato AD, possiamo calcolare l'area del triangolo:
Dobbiamo ancora calcolare l'area della semicirconferenza. Nota che il suo raggio sarà uguale alla metà della misura sul lato AD, quindi r = 2 cm. L'area della semicirconferenza sarà pari a:
L'area più scura verrà trovata facendo: AT = 6 + 6 = 12 cm2
Pertanto, il valore dell'area più scura è 12 cm2.
domanda 6
(Enem - 2016) Un uomo, padre di due figli, vuole acquistare due appezzamenti di terreno, con superfici della stessa misura, uno per ogni figlio. Uno dei terreni visitati è già delimitato e, sebbene non abbia un formato convenzionale (come mostrato nella Figura B), è piaciuto al figlio maggiore e, quindi, è stato acquistato. Il figlio più giovane ha un progetto architettonico per una casa che vuole costruire, ma per farlo ha bisogno di un terreno di forma rettangolare (come mostrato in Figura A) la cui lunghezza è 7 m più lunga del larghezza.
Per soddisfare il figlio più giovane, questo signore ha bisogno di trovare un appezzamento di terreno rettangolare le cui misure, in metri, in lunghezza e in larghezza, siano pari rispettivamente a
a) 7.5 e 14.5
b) 9.0 e 16.0
c) 9.3 e 16.3
d) 10.0 e 17.0
e) 13,5 e 20,5
Alternativa corretta: b) 9.0 e 16.0.
Poiché l'area della figura A è uguale all'area della figura B, calcoliamo prima quest'area. Per questo, dividiamo la Figura B, come mostrato nell'immagine qui sotto:
Nota che quando dividiamo la figura, abbiamo due triangoli rettangoli. Pertanto, l'area della figura B sarà uguale alla somma delle aree di questi triangoli. Calcolando queste aree, abbiamo:
Poiché la figura A è un rettangolo, la sua area si trova facendo:
ILIL = x. (x + 7) = x2 + 7x
Eguagliando l'area della figura A con il valore trovato per l'area della figura B, troviamo:
X2 + 7x = 144
X2 + 7x - 144 = 0
Risolviamo l'equazione di 2° grado usando la formula di Bhaskara:
Poiché una misura non può essere negativa, consideriamo solo il valore pari a 9. Pertanto, la larghezza del terreno in figura A sarà pari a 9 me la lunghezza sarà pari a 16 m (9+7).
Pertanto, le misure di lunghezza e larghezza devono essere rispettivamente pari a 9,0 e 16,0.
domanda 7
(Enem - 2015) Una compagnia di telefonia mobile ha due antenne che saranno sostituite da una nuova e più potente. Le aree di copertura delle antenne che verranno sostituite sono cerchi con raggio di 2 km, le cui circonferenze sono tangenti al punto O, come mostrato in figura.
Il punto O indica la posizione della nuova antenna e la sua regione di copertura sarà un cerchio la cui circonferenza tangerà esternamente le circonferenze delle aree di copertura più piccole. Con l'installazione della nuova antenna, la misurazione dell'area di copertura, in chilometri quadrati, è stata ampliata da
a) 8
b) 12
c) 16 anni
d) 32
e) 64
Alternativa corretta: a) 8 π.
L'ingrandimento della misura dell'area di copertura si troverà diminuendo le aree dei cerchi più piccoli del cerchio più grande (riferito alla nuova antenna).
Poiché la circonferenza della nuova regione di copertura tocca esternamente le circonferenze minori, il suo raggio sarà pari a 4 km, come indicato nella figura seguente:
Calcoliamo le aree A1 e il2 dei cerchi minori e area A3 dal cerchio più grande:
IL1 = A2 = 22. π = 4 π
IL3 = 42.π = 16 π
La misura dell'area ingrandita si troverà facendo:
A = 16 π - 4 π - 4 π = 8 π
Pertanto, con l'installazione della nuova antenna, la misura dell'area di copertura, in chilometri quadrati, è stata aumentata di 8 .
domanda 8
(Enem - 2015) Il diagramma I mostra la configurazione di un campo da basket. I trapezi grigi, detti damigiane, corrispondono ad aree ristrette.
Mirando a soddisfare le linee guida del Comitato Centrale della Federazione Internazionale di Pallacanestro (Fiba) nel 2010, che ha unificato le marcature delle diverse leghe, era prevista una modifica nelle damigiane delle corti, che sarebbero diventate dei rettangoli, come mostrato nello Schema II.
Dopo aver effettuato le modifiche previste, si è verificata una variazione dell'area occupata da ciascuna damigiana, che corrisponde ad una (a)
a) aumento di 5800 cm2.
b) 75 400 cm di aumento2.
c) aumento di 214 600 cm2.
d) diminuzione di 63 800 cm2.
e) diminuzione di 272 600 cm2.
Alternativa corretta: a) aumento di 5800 cm².
Per scoprire qual è stata la variazione nell'area occupata, calcoliamo l'area prima e dopo la modifica.
Nel calcolo dello schema I, utilizzeremo la formula per l'area del trapezio. Nel diagramma II, useremo la formula per l'area del rettangolo.
Il cambio di zona sarà quindi:
A = AII - Aio
A = 284 200 - 278 400 = 5 800 cm2
Pertanto, dopo aver effettuato le modifiche previste, si è verificata una variazione dell'area occupata da ciascuna damigiana, che corrisponde ad un aumento di 5800 cm².
Esercizi proposti (con delibera)
domanda 9
Ana ha deciso di costruire una piscina rettangolare nella sua casa di 8 m di base per 5 m di altezza. Tutto intorno, a forma di trapezio, era pieno d'erba.
Sapendo che l'altezza del trapezio è 11 me le sue basi sono 20 me 14 m, qual è l'area della parte che è stata riempita di erba?
a) 294 m2
b) 153 m2
c) 147 m2
d) 216 m2
Alternativa corretta: c) 147 m2.
Poiché il rettangolo, che rappresenta la piscina, è inserito all'interno di una figura più grande, il trapezio, iniziamo calcolando l'area della figura esterna.
L'area del trapezio viene calcolata utilizzando la formula:
Dove,
B è la misura della base più grande;
b è la misura della base più piccola;
h è l'altezza.
Sostituendo i dati dell'istruzione nella formula, abbiamo:
Ora calcoliamo l'area del rettangolo. Per questo, dobbiamo solo moltiplicare la base per l'altezza.
Per trovare l'area coperta da erba, dobbiamo sottrarre lo spazio occupato dalla piscina dall'area del trapezio.
Pertanto, l'area erbosa era di 147 m2.
Vedi anche: Area Trapezio
domanda 10
Per rinnovare il tetto del suo magazzino, Carlos ha deciso di acquistare piastrelle coloniali. Utilizzando questo tipo di tetto, sono necessari 20 pezzi per ogni metro quadrato di tetto.
Se il tetto del locale è formato da due lastre rettangolari, come nella figura sopra, quante tegole deve comprare Carlos?
a) 12000 tessere
b) 16000 tessere
c) 18000 tessere
d) 9600 tessere
Alternativa corretta: b) 16000 tessere.
La copertura del magazzino è costituita da due lastre rettangolari. Pertanto, dobbiamo calcolare l'area di un rettangolo e moltiplicare per 2.
Pertanto, la superficie totale del tetto è di 800 m.2. Se ogni metro quadrato ha bisogno di 20 tegole, con una semplice regola del tre calcoliamo quante tegole riempiono il tetto di ogni magazzino.
Pertanto, sarà necessario acquistare 16 mila tessere.
Vedi anche: Area rettangolare
domanda 11
Marcia vorrebbe due vasi di legno identici per decorare l'ingresso di casa sua. Poiché poteva acquistare solo uno dei suoi preferiti, decise di assumere un ebanista per costruire un altro vaso delle stesse dimensioni. Il vaso deve avere quattro lati a forma di trapezio isoscele e la base è quadrata.
Senza tener conto dello spessore del legno, quanti metri quadrati di legno saranno necessari per riprodurre il pezzo?
a) 0,2131 m2
b) 0,1311 m2
c) 0,2113 m2
d) 0,3121 m2
Alternativa corretta: d) 0,3121 m2.
Un trapezio isoscele è il tipo che ha lati uguali e basi di dimensioni diverse. Dall'immagine, abbiamo le seguenti misure del trapezio su ciascun lato del vaso:
Base più piccola (b): 19 cm;
Base più grande (B): 27 cm;
Altezza (h): 30 cm.
Con i valori alla mano, calcoliamo l'area del trapezio:
Poiché la nave è formata da quattro trapezi, dobbiamo moltiplicare l'area trovata per quattro.
Ora dobbiamo calcolare la base del vaso, che è formata da un quadrato di 19 cm.
Sommando le aree calcolate si arriva alla superficie totale di legno da utilizzare per costruire.
Tuttavia, l'area deve essere presentata in metri quadrati.
Pertanto, senza tener conto dello spessore del legno, sono stati necessari 0,3121 m2 di materiale per fabbricare il vaso.
Vedi anche: Area quadrata
domanda 12
Per facilitare il calcolo di quante persone partecipano a eventi pubblici, si ritiene generalmente che un metro quadrato sia occupato da quattro persone.
Per celebrare l'anniversario di una città, il governo della città ha ingaggiato una banda per suonare nella piazza situata nel centro, che ha una superficie di 4000 m2. Sapendo che la piazza era gremita, quante persone circa hanno partecipato all'evento?
a) 16 mila persone.
b) 32mila persone.
c) 12 mila persone.
d) 40 mila persone.
Alternativa corretta: a) 16mila persone.
Un quadrato ha quattro lati uguali e la sua area è calcolata con la formula: A = L x L.
se in 1 m2 è occupata da quattro persone, quindi 4 volte l'area totale della piazza ci dà la stima delle persone che hanno partecipato all'evento.
Così, 16mila persone hanno partecipato all'evento promosso dal municipio.
Per saperne di più, vedi anche:
- Aree a figure piatte
- Forme geometriche
- Teorema di Pitagora - Esercizi
