IL equazione di secondo grado prende il nome perché è un'equazione polinomiale il cui termine di grado più alto è quadrato. Chiamata anche equazione quadratica, è rappresentata da:
ascia2 + bx + c = 0
In un'equazione di 2° grado, il X è l'ignoto e rappresenta un valore sconosciuto. già il testo Il, B e ç sono chiamati coefficienti di equazione.
I coefficienti sono numeri reali e il coefficiente Il deve essere diverso da zero, altrimenti diventa un'equazione di 1° grado.
Risolvere un'equazione di secondo grado significa cercare valori reali di X, che rendono vera l'equazione. Questi valori sono chiamati le radici dell'equazione.
Un'equazione quadratica ha al massimo due radici reali.
Equazioni complete e incomplete del liceo
Equazioni di 2° grado completare sono quelli che hanno tutti i coefficienti, cioè a, b e c sono diversi da zero (a, b, c 0).
Ad esempio, l'equazione 5x2 + 2x + 2 = 0 è completo, poiché tutti i coefficienti sono diversi da zero (a = 5, b = 2 e c = 2).
Un'equazione quadratica è
incompleto quando b = 0 o c = 0 o b = c = 0. Ad esempio, l'equazione 2x2 = 0 è incompleto perché a = 2, b = 0 e c = 0Esercizi risolti
1) Determinare i valori di X che rendono l'equazione 4x2 - 16 = 0 vero.
Soluzione:
L'equazione data è un'equazione di secondo grado incompleta, con b = 0. Per equazioni di questo tipo, possiamo risolvere isolando il X. Così:
Nota che la radice quadrata di 4 può essere 2 e - 2, poiché questi due numeri quadrati danno come risultato 4.
Quindi le radici dell'equazione 4x2 - 16 = 0 sono x = - 2 e x = 2
2) Trova il valore di x in modo che l'area del rettangolo sottostante sia uguale a 2.
Soluzione:
L'area del rettangolo si trova moltiplicando la base per l'altezza. Quindi, dobbiamo moltiplicare i valori dati e uguale a 2.
(x - 2). (x - 1) = 2
Ora moltiplichiamo tutti i termini:
X. x - 1. x-2. x-2. (- 1) = 2
X2 - 1x - 2x + 2 = 2
X2 - 3x + 2 - 2 = 0
X2 - 3x = 0
Dopo aver risolto le moltiplicazioni e le semplificazioni, troviamo un'equazione quadratica incompleta, con c = 0.
Questo tipo di equazione può essere risolto attraverso il fattorizzazione, perché il X si ripete in entrambi i termini. Quindi lo metteremo in evidenza.
X. (x - 3) = 0
Affinché il prodotto sia uguale a zero, x = 0 o (x - 3) = 0. Tuttavia, sostituendo X per zero, le misure dei lati sono negative, quindi questo valore non sarà la risposta alla domanda.
Quindi abbiamo che l'unico risultato possibile è (x - 3) = 0. Risolvendo questa equazione:
x - 3 = 0
x = 3
In questo modo il valore di X in modo che l'area del rettangolo sia uguale a 2 is x = 3.
Formula Bhaskara
Quando un'equazione quadratica è completa, usiamo il Formula Bhaskara per trovare le radici dell'equazione.
La formula è presentata di seguito:
Formula delta
Nella formula di Bhaskara compare la lettera greca (delta), che è detto discriminante dell'equazione, perché in base al suo valore è possibile conoscere il numero di radici che avrà l'equazione.
Per calcolare il delta utilizziamo la seguente formula:
Passo dopo passo
Per risolvere un'equazione di 2° grado, utilizzando la formula di Bhaskara, dobbiamo seguire questi passaggi:
1° passo: Identificare i coefficienti Il, B e ç.
I termini dell'equazione non appaiono sempre nello stesso ordine, quindi è importante sapere come identificare i coefficienti, indipendentemente dalla sequenza in cui si trovano.
il coefficiente Il è il numero che va con la x2, O B è il numero che accompagna il X è il ç è il termine indipendente, cioè il numero che appare senza la x.
2° passo: Calcola il delta.
Per calcolare le radici è necessario conoscere il valore del delta. Per fare ciò, sostituiamo le lettere nella formula con i valori dei coefficienti.
Possiamo, dal valore delta, conoscere in anticipo il numero di radici che avrà l'equazione di 2° grado. Cioè, se il valore di è maggiore di zero (Δ > 0), l'equazione avrà due radici reali e distinte.
Se al contrario, delta è minore di zero (Δ ), l'equazione non avrà radici reali e se è uguale a zero (Δ = 0), l'equazione avrà una sola radice.
3° passo: Calcola le radici.
Se il valore trovato per delta è negativo, non è necessario eseguire altri calcoli e la risposta è che l'equazione non ha radici reali.
Se il valore delta è uguale o maggiore di zero, dobbiamo sostituire tutte le lettere con i loro valori nella formula di Bhaskara e calcolare le radici.
Esercizio risolto
Determinare le radici dell'equazione 2x2 - 3x - 5 = 0
Soluzione:
Per risolvere questo, dobbiamo prima identificare i coefficienti, quindi abbiamo:
a = 2
b = - 3
c = - 5
Ora possiamo trovare il valore delta. Dobbiamo stare attenti con le regole dei segni e ricordare che dobbiamo risolvere prima il potenziamento e la moltiplicazione, e poi l'addizione e la sottrazione.
Δ = (- 3)2 - 4. (- 5). 2 = 9 +40 = 49
Poiché il valore trovato è positivo, troveremo due valori distinti per le radici. Quindi, dobbiamo risolvere due volte la formula di Bhaskara. Quindi abbiamo:
Quindi le radici dell'equazione 2x2 - 3x - 5 = 0 sono x = 5/2 e x = - 1.
Sistema di equazioni di secondo grado
Quando vogliamo trovare i valori di due diverse incognite che soddisfano contemporaneamente due equazioni, abbiamo a sistema di equazioni.
Le equazioni che compongono il sistema possono essere di 1° grado e di 2° grado. Per risolvere questo tipo di sistema possiamo utilizzare il metodo di sostituzione e il metodo di addizione.
Esercizio risolto
Risolvi il sistema qui sotto:
Soluzione:
Per risolvere il sistema, possiamo usare il metodo dell'addizione. In questo metodo, aggiungiamo termini simili della 1a equazione con quelli della 2a equazione. Quindi, riduciamo il sistema a una singola equazione.
Possiamo ancora semplificare tutti i termini dell'equazione di 3 e il risultato sarà l'equazione x2 - 2x - 3 = 0. Risolvendo l'equazione abbiamo:
Δ = 4 - 4. 1. (- 3) = 4 + 12 = 16
Dopo aver trovato i valori x, non dobbiamo dimenticare che dobbiamo ancora trovare i valori y che rendono vero il sistema.
Per fare ciò, basta sostituire i valori trovati per x in una delle equazioni.
sì1 - 6. 3 = 4
sì1 = 4 + 18
sì1 = 22
sì2 - 6. (-1) = 4
sì2 + 6 = 4
sì2 = - 2
Pertanto, i valori che soddisfano il sistema proposto sono (3, 22) e (-1, - 2)
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Esercizi
domanda 1
Risolvi l'equazione quadratica completa usando la formula di Bhaskara:
2x2 + 7x + 5 = 0
Innanzitutto è importante osservare ciascun coefficiente nell'equazione, quindi:
a = 2
b = 7
c = 5
Attraverso la formula del discriminante dell'equazione, dobbiamo trovare il valore di .
Questo è per trovare in seguito le radici dell'equazione attraverso la formula generale o la formula di Bhaskara:
Δ = 72 – 4. 2. 5
Δ = 49 - 40
Δ = 9
Nota che se il valore di è maggiore di zero (Δ > 0), l'equazione avrà due radici reali e distinte.
Quindi, dopo aver trovato la Δ, sostituiamola nella formula di Bhaskara:
Pertanto, i valori delle due radici reali sono: X1 = - 1 e X2 = - 5/2
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Domanda 2
Risolvi equazioni di secondo grado incomplete:
a) 5x2 – x = 0
Per prima cosa, cerchiamo i coefficienti dell'equazione:
a=5
b= - 1
c = 0
È un'equazione incompleta dove c = 0.
Per calcolarlo possiamo usare la fattorizzazione, che in questo caso sta mettendo x in evidenza.
5x2 – x = 0
X. (5x-1) = 0
In questa situazione, il prodotto sarà uguale a zero quando x = 0 o quando 5x -1 = 0. Quindi calcoliamo il valore di x:
Quindi le radici dell'equazione sono X1 = 0 e X2 = 1/5.
b) 2x2 – 2 = 0
a = 2
b = 0
c = - 2
È un'equazione di secondo grado incompleta, dove b = 0, il suo calcolo può essere effettuato isolando la x:
X1 = 1 e x2 = - 1
Quindi le due radici dell'equazione sono X1 = 1 e X2 = - 1
c) 5x2 = 0
a = 5
b = 0
c = 0
In questo caso, l'equazione incompleta presenta coefficienti b e c uguali a zero (b = c = 0):
Pertanto, le radici di questa equazione hanno i valori X1 = X2 = 0
Per saperne di più leggi anche:
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- Somma e prodotto
- disuguaglianza
- equazioni irrazionali
- Vertice della Parabola
