IL teoria della probabilità è la branca della Matematica che studia esperimenti o fenomeni casuali e attraverso di essa è possibile analizzare le probabilità che un determinato evento si verifichi.
Quando calcoliamo la probabilità, stiamo associando un grado di confidenza che si verificheranno i possibili risultati degli esperimenti, i cui risultati non possono essere determinati in anticipo.
In questo modo il calcolo della probabilità associa il verificarsi di un risultato ad un valore che varia da 0 a 1, e più il risultato è vicino a 1, maggiore è la certezza del suo verificarsi.
Ad esempio, possiamo calcolare la probabilità che una persona compri un biglietto vincente della lotteria o conoscere le probabilità che una coppia abbia 5 figli, tutti maschi.
esperimento casuale
Un esperimento casuale è uno che non può prevedere quale risultato verrà trovato prima di eseguirlo.
Eventi di questo tipo, se ripetuti nelle stesse condizioni, possono dare esiti diversi e questa incostanza è attribuita al caso.
Un esempio di un esperimento casuale è quello di lanciare un dado imparziale (dado che ha una distribuzione di massa omogenea) verso l'alto. In caduta non è possibile prevedere con certezza quale delle 6 facce sarà rivolta verso l'alto.
Formula di probabilità
In un fenomeno casuale, le probabilità che si verifichi un evento sono ugualmente probabili.
Pertanto, possiamo trovare la probabilità che un dato risultato si verifichi dividendo il numero di eventi favorevoli e il numero totale di esiti possibili:
Essere:
papà): probabilità di accadimento di un evento A
a): numero di casi che ci interessano (evento A)
n (Ω): numero totale di casi possibili
Esempi
1) Se tiriamo un dado perfetto, qual è la probabilità che esca un numero inferiore a 3?
Soluzione
Come dado perfetto, tutte e 6 le facce hanno la stessa possibilità di cadere a faccia in su. Quindi applichiamo la formula della probabilità.
Per questo dobbiamo considerare che abbiamo 6 casi possibili (1, 2, 3, 4, 5, 6) e che l'evento "su un numero minore di 3" ha 2 possibilità, cioè fuori dal numero 1 o il numero 2. Quindi abbiamo:
2) Il mazzo di carte è composto da 52 carte divise in quattro semi (cuori, fiori, quadri e picche) con 13 carte di ogni seme. Quindi, se estrai una carta a caso, qual è la probabilità che esca una carta del seme di fiori?
Soluzione
Quando si pesca una carta a caso, non possiamo prevedere quale sarà questa carta. Quindi questo è un esperimento casuale.
In questo caso, il numero di carte corrisponde al numero di casi possibili e abbiamo 13 club che rappresentano il numero di eventi favorevoli.
Sostituendo questi valori nella formula di probabilità, abbiamo:
Spazio campione
rappresentato dalla lettera Ω, lo spazio campionario corrisponde all'insieme dei possibili risultati ottenuti da un esperimento casuale.
Ad esempio, quando si prende a caso una carta da un mazzo, lo spazio campione corrisponde alle 52 carte che compongono questo mazzo.
Allo stesso modo, lo spazio campione quando si lancia un dado una volta, sono le sei facce che lo compongono:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5 e 6}.
Tipi di eventi
L'evento è un qualsiasi sottoinsieme dello spazio campionario di un esperimento casuale.
Quando un evento è esattamente uguale al suo spazio campionario, viene chiamato a evento giusto. Viceversa, quando l'evento è vuoto, viene chiamato a evento impossibile.
Esempio
Immagina di avere una scatola con palline numerate da 1 a 20 e che tutte le palline siano rosse.
L'evento "disegna una pallina rossa" è un evento sicuro, poiché tutte le palline nella scatola sono di questo colore. L'evento "estrarre un numero maggiore di 30" è impossibile, poiché il numero più alto nella casella è 20.
Analisi combinatoria
In molte situazioni è possibile scoprire direttamente il numero di eventi possibili e favorevoli in un esperimento casuale.
Tuttavia, in alcuni problemi sarà necessario calcolare questi valori. In questo caso, possiamo usare le formule di permutazione, disposizione e combinazione secondo la situazione proposta nella domanda.
Per approfondire l'argomento vai su:
- Analisi combinatoria
- Esercizi di analisi combinatoria
- Principio fondamentale del conteggio
- Permutazione
Esempio
(EsPCEx - 2012) La probabilità di ottenere un numero divisibile per 2 nella scelta casuale di una delle permutazioni delle cifre 1, 2, 3, 4, 5 è
Soluzione
In questo caso, dobbiamo scoprire il numero di eventi possibili, cioè quanti numeri diversi otteniamo cambiando l'ordine delle 5 cifre date (n=5).
Poiché, in questo caso, l'ordine delle cifre forma numeri diversi, utilizzeremo la formula di permutazione. Pertanto, abbiamo:
Eventi possibili:
Pertanto, con 5 cifre possiamo trovare 120 numeri diversi.
Per calcolare la probabilità, dobbiamo ancora trovare il numero di eventi favorevoli che, in questo caso, è trovare un numero divisibile per 2, che accadrà quando l'ultima cifra del numero è 2 o 4.
Considerando che per l'ultima posizione abbiamo solo queste due possibilità, allora dovremo scambiare le altre 4 posizioni che compongono il numero, in questo modo:
Eventi favorevoli:
La probabilità si trova facendo:
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Esercizio risolto
1) PUC/RJ - 2013
Se a = 2n + 1 con n ∈ {1, 2, 3, 4}, allora la probabilità del numero Il essere una coppia è
a 1
b) 0.2
c) 0,5
d) 0,8
e) 0
Quando sostituiamo ogni possibile valore di n nell'espressione per il numero a, notiamo che il risultato sarà sempre un numero dispari.
Pertanto, "essere un numero pari" è un evento impossibile. In questo caso, la probabilità è uguale a zero.
Alternativa: e) 0
2) UPE - 2013
In un gruppo di un corso di spagnolo, tre persone intendono fare un programma di scambio in Cile e sette in Spagna. Tra queste dieci persone, due sono state scelte per il colloquio che estrarrà borse di studio per studio all'estero. La probabilità che queste due persone prescelte appartengano al gruppo di coloro che intendono fare uno scambio in Cile è
Per prima cosa, troviamo il numero di possibili situazioni. Poiché la scelta delle 2 persone non dipende dall'ordine, utilizzeremo la formula di combinazione per determinare il numero di casi possibili, ovvero:
Quindi ci sono 45 modi per scegliere 2 persone da un gruppo di 10 persone.
Ora dobbiamo calcolare il numero di eventi favorevoli, cioè le due persone estratte vogliono fare lo scambio in Cile. Ancora una volta useremo la formula di combinazione:
Quindi ci sono 3 modi per scegliere 2 persone su 3 che vogliono studiare in Cile.
Con i valori trovati, possiamo calcolare la probabilità richiesta sostituendo nella formula:
Alternativa: b)
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