Somiglianza dei triangoli: esercizi commentati e risolti

IL somiglianza del triangolo è usato per trovare la misura sconosciuta di un triangolo conoscendo le misure di un altro triangolo.

Quando due triangoli sono simili, le misure dei loro lati corrispondenti sono proporzionali. Questa relazione viene utilizzata per risolvere molti problemi di geometria.

Approfittate quindi degli esercizi commentati e risolti per risolvere tutti i vostri dubbi.

Problemi risolti

1) Apprendista marinaio - 2017

Vedi la figura sotto

Un edificio proietta al suolo un'ombra lunga 30 m nello stesso istante in cui una persona alta 6 m proietta un'ombra di 2,0 m. Si può dire che l'altezza dell'edificio vale

a) 27 m
b) 30 m
c) 33 m
d) 36 m
e) 40 m

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Possiamo considerare che l'edificio, la sua ombra proiettata e il raggio di sole formano un triangolo. Allo stesso modo, abbiamo anche un triangolo formato dalla persona, dalla sua ombra e dal raggio del sole.

Considerando che i raggi del sole sono paralleli e che l'angolo tra l'edificio e il suolo e la persona è il suolo è uguale a 90º, i triangoli, indicati nella figura sottostante, sono simili (due angoli è uguale a).

Poiché i triangoli sono simili, possiamo scrivere la seguente proporzione:

Alternativa: a) 27 m

2) Fuvest - 2017

Nella figura, il rettangolo ABCD ha i lati di lunghezza AB = 4 e BC = 2. Sia M il punto medio del lato e N il punto medio del lato . I segmenti intercetta il segmento rispettivamente nei punti E e F.

L'area del triangolo AEF è uguale a

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L'area del triangolo AEF può essere trovata diminuendo l'area del triangolo ABE dall'area del triangolo AFB, come mostrato di seguito:

Iniziamo trovando l'area del triangolo AFB. Per questo, dobbiamo scoprire il valore dell'altezza di questo triangolo, poiché è noto il valore di base (AB = 4).

Si noti che i triangoli AFB e CFN sono simili in quanto hanno due angoli uguali (caso AA), come mostrato nella figura seguente:

Tracciamo l'altezza H₁, rispetto al lato AB, nel triangolo AFB. Poiché la misura del lato CB è pari a 2, possiamo considerare che l'altezza relativa del lato NC nel triangolo FNC è pari a 2 - H₁.

Possiamo quindi scrivere la seguente proporzione:

Conoscendo l'altezza del triangolo, possiamo calcolarne l'area:

Per trovare l'area del triangolo ABE, dovrai anche calcolare il suo valore di altezza. Per questo, utilizzeremo il fatto che i triangoli ABM e AOE, indicati nella figura seguente, sono simili.

Inoltre, il triangolo OEB è un triangolo rettangolo e gli altri due angoli sono uguali (45º), quindi è un triangolo isoscele. Quindi, le due gambe di questo triangolo valgono H₂, come l'immagine qui sotto:

Quindi, il lato AO del triangolo AOE è uguale a 4 - H_2. Sulla base di queste informazioni, possiamo indicare la seguente proporzione:

Conoscendo il valore dell'altezza, possiamo ora calcolare l'area del triangolo ABE:

Pertanto, l'area del triangolo AFE sarà uguale a:

Alternativa: d)

3) Cefet/MG - 2015

L'illustrazione seguente rappresenta un tavolo da biliardo rettangolare, con una larghezza e una lunghezza pari rispettivamente a 1,5 e 2,0 m. Un giocatore deve lanciare la palla bianca dal punto B e colpire la palla nera nel punto P, senza colpirne un'altra, per prima. Poiché quella gialla si trova nel punto A, questo giocatore lancerà la palla bianca nel punto L, in modo che possa rimbalzare e scontrarsi con quella nera.

Se l'angolo del percorso di incidenza della palla sul lato del tavolo e l'angolo di rimbalzo sono uguali, come mostrato in figura, allora la distanza da P a Q, in cm, è di circa

a) 67
b) 70
c) 74
d) 81

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I triangoli, contrassegnati in rosso nell'immagine sottostante, sono simili, poiché hanno due angoli uguali (angolo uguale a α e angolo uguale a 90º).

Possiamo quindi scrivere la seguente proporzione:

Alternativa: a) 67

4) Collegio Militare/RJ - 2015

In un triangolo ABC, i punti D ed E appartengono rispettivamente ai lati AB e AC e sono tali che DE //BC. Se F è un punto di AB tale che EF //CD e le misure di AF e FD e sono, rispettivamente, 4 e 6, la misura del segmento DB è:

a) 15.
b) 10.
c) 20.
d) 16.
e) 36.

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Possiamo rappresentare il triangolo ABC, come mostrato di seguito:

Poiché il segmento DE è parallelo a BC, allora i triangoli ADE e ABC sono simili in quanto i loro angoli sono congruenti.

Possiamo quindi scrivere la seguente proporzione:

Anche i triangoli FED e DBC sono simili, poiché i segmenti FE e DC sono paralleli. Vale quindi anche la seguente proporzione:

Isolando la y in questa proporzione, abbiamo:

Sostituendo il valore y nella prima uguaglianza:

Alternativa: a) 15

5) Epcar - 2016

Un terreno a forma di triangolo rettangolo sarà diviso in due lotti da una recinzione realizzata sulla bisettrice dell'ipotenusa, come mostrato in figura.

È noto che i lati AB e BC di questo terreno misurano rispettivamente 80 me 100 m. Quindi, il rapporto tra il perimetro del lotto I e il perimetro del lotto II, in quest'ordine, è

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Per trovare il rapporto tra i perimetri, dobbiamo conoscere il valore di tutti i lati della figura I e della figura II.

Si noti che la bisettrice dell'ipotenusa divide il lato BC in due segmenti congruenti, quindi i segmenti CM e MB misurano 50 m.

Poiché il triangolo ABC è un rettangolo, possiamo calcolare il lato AC, usando il teorema di Pitagora. Tuttavia, nota che questo triangolo è un triangolo pitagorico.

Quindi, essendo l'ipotenusa uguale a 100 (5. 20) e una due gambe uguale a 80 (4.20), quindi l'altra gamba può essere solo uguale a 60 (3.20).

Abbiamo anche identificato che i triangoli ABC e MBP sono simili (caso AA), in quanto hanno un angolo comune e l'altro uguale a 90º.

Quindi, per trovare il valore di x possiamo scrivere la seguente proporzione:

Il valore di z si trova considerando la proporzione:

Possiamo anche trovare il valore di y facendo:

Ora che conosciamo tutti i lati, possiamo calcolare i perimetri.

Perimetro della Figura I:

Perimetro della Figura II:

Pertanto, il rapporto tra i perimetri sarà pari a:

Alternativa: d)

6) Enem - 2013

Il proprietario di un'azienda agricola vuole mettere un'asta di sostegno per fissare meglio due pali con lunghezze pari a 6 me 4 m. La figura rappresenta la situazione reale in cui i pali sono descritti dai segmenti AC e BD e dall'asta è rappresentato dal segmento EF, tutto perpendicolare al suolo, che è indicato dal segmento di retta AB. I segmenti AD e BC rappresentano i cavi d'acciaio che verranno installati.

Quale dovrebbe essere il valore della lunghezza dell'asta EF?

a) 1 m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 m

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Per risolvere il problema, chiamiamo l'altezza dello stelo come z e le misure dei segmenti AF e FB di X e sì, rispettivamente, come mostrato di seguito:

Il triangolo ADB è simile al triangolo AEF in quanto entrambi hanno un angolo uguale a 90° e un angolo comune, quindi sono simili nel caso AA.

Possiamo quindi scrivere la seguente proporzione:

Moltiplicando "in una croce", otteniamo l'uguaglianza:

6x = h (x + y) (I)

D'altra parte, anche i triangoli ACB e FEB saranno simili, per gli stessi motivi presentati sopra. Quindi abbiamo la proporzione:

Risolvendo allo stesso modo:

4y = h (x + y) (II)

Nota che le equazioni (I) e (II) hanno la stessa espressione dopo il segno di uguale, quindi possiamo dire che:

6x = 4y

Sostituendo il valore di x nella seconda equazione:

Alternativa: c) 2,4 m

7) Fuvest - 2010

Nella figura, il triangolo ABC è rettangolare con lati BC = 3 e AB = 4. Inoltre, il punto D appartiene alla clavicola. , il punto E appartenente alla clavicola e il punto F appartiene all'ipotenusa , tale che DECF è un parallelogramma. Se , quindi vale l'area del parallelogramma DECF

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L'area del parallelogramma si trova moltiplicando il valore di base per l'altezza. Chiamiamo h l'altezza e x la misura della base, come mostrato di seguito:

Poiché DECF è un parallelogramma, i suoi lati sono paralleli a due a due. In questo modo i lati AC e DE sono paralleli. Quindi gli angoli loro sono la stessa cosa.

Possiamo quindi identificare che i triangoli ABC e DBE sono simili (caso AA). Abbiamo anche che l'ipotenusa del triangolo ABC è uguale a 5 (triangolo 3,4 e 5).

In questo modo, scriviamo la seguente proporzione:

Per trovare la misura x della base, consideriamo la seguente proporzione:

Calcolando l'area del parallelogramma, abbiamo:

Alternativa: a)