La tavola della verità o tavola della verità è uno strumento matematico ampiamente utilizzato nel campo del ragionamento logico. Il suo obiettivo è verificare la validità logica di una proposizione composta (argomento formato da due o più proposizioni semplici).
Esempi di proposizioni composte:
- John è alto e Maria è bassa.
- Peter è alto o Giovanna è bionda.
- Se Pietro è alto, poi Giovanna è una rossa.
Ognuna delle suddette proposizioni composite è formata da due semplici proposizioni unite dai connettivi in grassetto. Ogni proposizione semplice può essere vera o falsa e questo implicherà direttamente il valore logico della proposizione composta. Se adottiamo la frase "John è alto e Mary è bassa”, le possibili valutazioni di questa dichiarazione saranno:
- Se John è alto e Mary è bassa, la frase "John è alto e Mary è bassa" è VERA.
- Se John è alto e Mary non è bassa, la frase "John è alto e Mary è bassa" è FALSA.
- Se John non è alto e Mary è bassa, la frase "John è alto e Mary è bassa" è FALSA.
- Se John non è alto e Mary non è bassa, la frase "John è alto e Mary è bassa" è FALSA.
La tavola della verità delinea questo stesso ragionamento (vedi argomento Congiunzione sotto) più direttamente. Inoltre, possono essere applicate le regole della tabella di verità. indipendentemente dal numero di proposizioni nella frase.
Come funziona?
Innanzitutto, trasforma le proposizioni della domanda in simboli usati nella logica. L'elenco dei simboli universalmente utilizzati è:
| Simbolo | Operazione logica | Senso | Esempio |
|---|---|---|---|
| P | . | Proposta 1 | p = Giovanni è alto. |
| che cosa | . | Proposta 2 | q = Maria è bassa. |
| ~ | Rifiuto | no | Se John è alto, "~p" è falso. |
| ^ | Congiunzione | e | P^che cosa = John è alto e Mary è bassa. |
| v | Disgiunzione | o | Pvq = John è alto o Mary è bassa. |
| → | Condizionale | se poi | P→che cosa = Se John è alto, Mary è bassa. |
| ↔ | bicondizionale | se e solo se | P↔q = John è alto se e solo se Mary è bassa. |
Quindi, viene assemblata una tabella con tutte le possibilità di valutazione di una proposizione composta, sostituendo le dichiarazioni con simboli. È bene precisare che nei casi in cui vi siano più di due proposizioni, esse possono essere simboleggiate dalle lettere r, S, e così via.
Infine, viene applicata l'operazione logica definita dal connettore mostrato. Come sopra elencato, queste operazioni possono essere: negazione, congiunzione, disgiunzione, condizionale e bicondizionale.
Rifiuto
La negazione è simboleggiata da ~. L'operazione logica di negazione è la più semplice e spesso non richiede l'uso della tavola di verità. Seguendo lo stesso esempio, se John è alto (p) dire che John non è alto (~p) è FALSE e viceversa.
Congiunzione
La congiunzione è simboleggiata da ^. L'esempio "John è alto e Mary è bassa" sarà simboleggiato da "p^q" e la tabella di verità sarà:
La congiunzione suggerisce un'idea di accumulo, quindi se una delle proposizioni semplici è falsa, è impossibile che la proposizione composta sia vera.
Conclusione: le proposizioni composte congiuntive (contenenti il connettivo e) sarà vero solo quando tutti i suoi elementi sono veri.
Esempio:
- Paulo, Renato e Túlio sono gentili e Carolina è divertente. - Se Paulo, Renato o Túlio non sono gentili o Carolina non è divertente, la proposta sarà FALSA. È necessario che tutti l'informazione è vera perché la proposizione composta sia VERA.
Disgiunzione
La disgiunzione è simboleggiata da v. Cambiare il connettivo dall'esempio sopra in o avremo "John è alto o Mary è bassa". In questo caso, la frase sarà simboleggiata da "pvq" e la tabella di verità sarà:
La disgiunzione implica un'idea di alternanza, quindi è sufficiente che una delle proposizioni semplici sia vera perché sia vera anche quella composta.
Conclusione: le proposizioni composte disgiuntive (che contengono il connettivo o) sarà falso solo quando tutti i suoi elementi sono falsi.
Esempio:
- Mia madre, mio padre o mio zio mi faranno un regalo. - Perché l'affermazione sia VERA, è sufficiente che solo uno tra la madre, il padre o lo zio faccia il regalo. La proposta sarà FALSA solo se nessuno di loro la darà.
Condizionale
Il condizionale è simboleggiato da →. È espresso dai connettivi Se e poi, che interconnettono le proposizioni semplici in una relazione causale. L'esempio "Se Paulo è di Rio de Janeiro, allora è brasiliano" diventa "p→q" e la tabella di verità sarà:
I condizionali hanno una proposizione antecedente e una conseguente, separato dal connettivo poi. Nell'analisi dei condizionali, è necessario valutare in quali casi la proposizione potrebbe essere possibile, considerando il rapporto di implicazione tra l'antecedente e il conseguente.
Conclusione: Proposizioni composte condizionali (contenenti i connettivi Se e poi) sarà falso solo se la prima proposizione è vera e la seconda falsa.
Esempio:
- Se Paulo è di Rio, allora è brasiliano. - Affinché questa proposizione possa essere considerata VERA, è necessario valutare i casi in cui è POSSIBILE. Secondo la tabella di verità sopra, abbiamo:
- Paulo è di Rio / Paulo è brasiliano = POSSIBILE
- Paulo è di Rio de Janeiro / Paulo non è brasiliano = IMPOSSIBILE
- Paulo non è di Rio / Paulo è brasiliano = POSSIBILE
- Paulo non è carioca / Paulo non è brasiliano = POSSIBILE
bicondizionale
Il bicondizionale è simboleggiato da ↔. Si legge attraverso i connettivi Se e solo se, che interconnettono le proposizioni semplici in una relazione di equivalenza. L'esempio "Giovanni è felice se e solo se Maria sorride". diventa "p↔q" e la tabella di verità sarà:
I bicondizionali suggeriscono un'idea di interdipendenza. Come dimostra il nome, il bicondizionale è composto da due condizionali: uno che parte da P per che cosa (P→q) e un altro nella direzione opposta (q→P).
Conclusione: A proposizioni composte bicondizionali (contenenti i connettivi Se e solo se) sarà vero solo quando tutte le proposizioni sono vere o tutte le proposizioni sono false.
Esempio:
- João è felice se e solo se Maria sorride. - Significa dire che:
- Se Giovanni è felice, Maria sorride e se Maria sorride, Giovanni è felice = VERO
- Se Giovanni non è felice, Maria non sorride e se Maria non sorride, Giovanni non è felice = VERO
- Se João è felice, Maria non sorride = FALSO
- Se João non è felice, Maria sorride = FALSO
Panoramica
È comune per gli studiosi della tavola della verità memorizzare le conclusioni di ciascuna delle operazioni logiche. Per risparmiare tempo durante la risoluzione dei problemi, tieni sempre presente che:
- Proposizioni Congiuntive: Saranno veri solo quando tutti gli elementi sono veri.
- Proposizioni disgiuntive: Sarà falso solo quando tutti gli elementi sono falsi.
- Proposizioni condizionali: Saranno false solo quando la prima proposizione è vera e la seconda falsa.
- Proposizioni bicondizionali: Sarà vero solo quando tutti gli elementi sono veri o tutti gli elementi sono falsi.