Somma dei termini di un PA

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IL Progressione aritmetica (PADELLA) è un sequenza numerica dove la differenza tra due termini consecutivi è sempre uguale allo stesso valore, una costante r.

Ad esempio, (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) è un AP di rapporto r = 2.

Questo tipo di sequenza (PA) è molto comune e spesso potremmo voler determinare la somma di tutti i termini della sequenza. Nell'esempio sopra, la somma è data da 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64.

Tuttavia, quando il BP ha molti termini o quando non tutti i termini sono noti, diventa più difficile ottenere questa somma senza utilizzare una formula. Quindi, controlla la formula per somma dei termini di un PA.

Formula di somma dei termini di un PA

IL somma dei termini di aProgressione aritmetica può essere determinato conoscendo solo il primo e l'ultimo termine della successione, utilizzando la seguente formula:

$\dpi{120} \small \mathbf{S_n = \frac{n.(a_1+a_n)}{2}}$

Su cosa:

$\dpi{120} \mathbf{n}$ : numero di termini PA;
$\dpi{120} \mathbf{a_1}$ : è il primo termine della BP;
$\dpi{120} \mathbf{a_n}$ : è l'ultimo mandato della PA.

Dimostrazione:

Nel dimostrare che la formula presentata permette realmente di calcolare la somma degli n termini di un AP, dobbiamo considerare una proprietà molto importante dell'AP:

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Proprietà di un PA: la somma di due termini che sono alla stessa distanza dal centro di una PA finita è sempre lo stesso valore, cioè costante.

Per capire come funziona in pratica, considera la PA dell'esempio iniziale (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15).

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) -> 1 + 15 = 16

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(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) -> 3 + 13 = 16

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) -> 5 + 11 = 16

(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) -> 7 + 9 = 16

Ora, vedi che 16 + 16 + 16 + 16 = 4 x 16 = 64, che è la somma dei termini di questa PA. Inoltre:

Il numero 16 si ottiene solo attraverso il primo e l'ultimo termine 1+ 15 = 16.
Il numero 16 è stato aggiunto 4 volte, che corrisponde alla metà del numero di termini nella sequenza (8/2 = 4).

Quello che è successo non è una coincidenza e vale per qualsiasi PA.

In ogni PA, la somma dei termini equidistanti sarà sempre lo stesso valore, che si può ottenere tramite ( $\dpi{120} \small \mathrm{a_1+ a_n}$ ) e come sempre vengono aggiunti ogni due valori, in una sequenza di $\dpi{120} \small \mathrm{n}$ termini, ci sarà ( $\dpi{120} \small \mathrm{a_1+ a_n}$ ) un totale di $\dpi{120} \small \mathrm{\frac{n}{2}}$ volte.