Utilizzo delle relazioni trigonometriche

A relazioni trigonometriche sono formule che mettono in relazione gli angoli ei lati di un triangolo rettangolo. Queste formule coinvolgono le funzioni seno, coseno e tangentee hanno molte applicazioni in problemi geometrici che coinvolgono questo tipo di triangolo.

Relazioni trigonometriche nel triangolo rettangolo

oh triangolo rettangolo è il triangolo che ha un angolo retto (90°) e due angoli acuti (minori di 90°). I lati del triangolo rettangolo sono chiamati ipotenusa e lati e i lati possono essere opposti o adiacenti, a seconda dell'angolo di riferimento.

triangolo rettangolo

Elementi del triangolo rettangolo:

  • Ipotenusa: lato opposto all'angolo retto;
  • Lato opposto: lato opposto all'angolo acuto considerato;
  • Lato adiacente: lato consecutivo all'angolo acuto considerato.

Formule:

considerando l'angolo \dpi{120} \alpha del triangolo rettangolo, dobbiamo:

\dpi{120} \mathbf{sen\, \boldsymbol{\alpha} = \frac{cateto\, opposto}{ipotenusa}}
\dpi{120} \mathbf{cos\, \boldsymbol{\alpha} = \frac{catheto\, adiacente}{ipotenusa}}
\dpi{120} \mathbf{tan\, \boldsymbol{\alpha} = \frac{lato\, opposto}{lato \, adiacente}}

Nota: L'ipotenusa del triangolo rettangolo è sempre la stessa, i lati opposto e adiacente variano in relazione all'angolo acuto considerato.

Esempi - Utilizzo delle relazioni trigonometriche

Di seguito sono riportati esempi di come utilizzare le relazioni trigonometriche.

Esempio 1: Calcola il valore di x e y nel triangolo sottostante:

triangolo

Dal seno dell'angolo di 30° possiamo determinare il valore di x, che è l'ipotenusa del triangolo.

\dpi{120} \mathrm{sen\, 30^{\circ} =\frac{5}{x}}
\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{ x=\frac{5}{sen\, 30^{\circ}}}
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\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow x = 10}

Ora, uno dei modi per trovare il valore di y è dal coseno dell'angolo di 30°. In questo caso, y è la gamba adiacente all'angolo di 30°.

\dpi{120} \mathrm{cos\, 30^{\circ} =\frac{y}{10}}
\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{ y = 10\cdot cos\, 30^{\circ}}
\dpi{120} \Rightarrow \mathrm{ y \circa 9}

Esempio 2: Determinare la misura degli angoli \dpi{120} \alpha e \dpi{120} \beta dal triangolo sottostante:

triangolo

Per prima cosa, determiniamo l'angolo \dpi{120} \alpha:

\dpi{120} \mathrm{sen\, \alpha = \frac{5}{6,4}}
\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow \alpha = sen^{-1} \left ( \frac{5}{6,4}\right )}
\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow \alpha \approssimativamente 51.37^{\circ}}

Ora determiniamo l'angolo \dpi{120} \beta:

\dpi{120} \mathrm{sen\, \beta = \frac{4}{6,4}}
\dpi{120} \mathrm{\Rightarrow \beta = sen^{-1} \left ( \frac{4}{6,4}\right )}
\dpi{120} \Rightarrow \beta \approssimativamente 38.68

Nota che abbiamo usato il seno in entrambi i casi, ma potremmo anche usare il coseno e arrivare a questi stessi risultati.

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