Somma degli angoli interni ed esterni di un poligono convesso

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voi poligoni convessi sono quelli che non hanno concavità. Per vedere se un poligono è convesso o meno, dobbiamo osservare che qualsiasi segmento di retta con estremità nella figura non passa attraverso la regione esterna.

Nei poligoni convessi esistono formule che consentono di determinare la somma degli angoli interni ed esterni. Check-out!

Somma degli angoli interni di un poligono convesso

La formula di somma degli angoli interni di un poligono convesso con n lati è:

$\dpi{120} \mathbf{S_i = (n-2)\cdot 180^{\circ}}$

Dimostrazione:

Se osserviamo, vedremo che ogni poligono convesso può essere diviso in un certo numero di triangoli. Vedi alcuni esempi:

Quindi, ricordando che il somma degli angoli interni di un triangolo è sempre uguale a 180°, possiamo vedere che la somma degli angoli interni in queste figure sopra sarà data dal numero di triangoli che la figura potrebbe essere divisa per 180°:

quadrilatero: 2 triangoli ⇒ $\dpi{120} \mathrm{S_i = 2\cdot 180^{\circ} = 360^{\circ}}$
Pentagono: 3 triangoli ⇒ $\dpi{120} \mathrm{S_i = 3\cdot 180^{\circ} = 540^{\circ}}$
Esagono: 4 triangoli ⇒ $\dpi{120} \mathrm{S_i = 4\cdot 180^{\circ} = 720^{\circ}}$

Quindi per ottenere una formula per calcolare la somma degli angoli interni di un poligono convesso, basta sapere, in generale, in quanti triangoli può essere diviso un poligono convesso.

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Se osserviamo, c'è una relazione tra questa quantità e il numero di lati delle figure. Il numero di triangoli è uguale al numero di lati della figura meno 2, ovvero:

$\dpi{120} \mathrm{Totale \, di \, tri\hat{a}angoli =n - 2}$

Quadrilatero: 4 lati ⇒ n – 2 = 4 – 2 = 2
Pentagono: 5 lati ⇒ n – 2 = 5 – 2 = 3
Esagono: 6 lati ⇒ n – 2 = 6 – 2 = 4

Quindi, in generale, la somma degli angoli interni di un poligono convesso è data da: $\dpi{120} \mathrm{S_i = (n-2)\cdot 180^{\circ} }$

Qual è la formula che volevamo dimostrare.

Esempio:

Trova la somma degli angoli interni di un icosagono convesso.

Un icosagono è un poligono di 20 lati, cioè n = 20. Sostituiamo questo valore nella formula:

$\dpi{120} \mathrm{S_i = (n-2)\cdot 180^{\circ} }$

$\dpi{120} \mathrm{S_i = (20-2)\cdot 180^{\circ} }$

$\dpi{120} \mathrm{S_i = 18\cdot 180^{\circ}}$

$\dpi{120} \mathrm{S_i = 3240^{\circ} }$

Pertanto, la somma degli angoli interni di un icosagono convesso è pari a 3240°.

Somma degli angoli esterni di un poligono

IL somma degli angoli esterni di un poligono convesso è sempre uguale a 360°, cioè:

$\dpi{120} \mathbf{S_e = 360^{\circ}}$

Dimostrazione:

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Dimostreremo con esempi che la somma degli angoli esterni di un poligono convesso non dipende dal numero di lati della figura ed è sempre uguale a 360°.

Quadrilatero:

quadrilatero Nota che ogni angolo interno forma un angolo di 180° con l'angolo esterno. Quindi, poiché ci sono quattro vertici, la somma di tutti gli angoli è data da 4. 180° = 720°.

cioè: $\dpi{120} \mathrm{S_i + S_e = 720^{\circ}}$

Presto:

$\dpi{120} \mathrm{ S_e = 720^{\circ} - S_i}$

Una volta $\dpi{120} \mathrm{S_i = 360^{\circ}}$ , poi:

$\dpi{120} \mathrm{ S_e = 720^{\circ} - 360^{\circ} = 360^{\circ} }$

Pentagono:

Nel pentagono abbiamo 5 vertici, quindi la somma di tutti gli angoli è data da 5. 180° = 900°. Presto: $\dpi{120} \mathrm{S_i + S_e = 900^{\circ}}$ . Poi: $\dpi{120} \mathrm{ S_e = 900^{\circ} - S_i}$ . Una volta $\dpi{120} \mathrm{S_i = 540^{\circ}}$ , poi: $\dpi{120} \mathrm{ S_e = 900^{\circ} - 540^{\circ} = 360^{\circ} }$ .

Esagono:

Nell'esagono abbiamo 6 vertici, quindi la somma di tutti gli angoli è data da 6. 180° = 1080°. Presto: $\dpi{120} \mathrm{S_i + S_e = 1080^{\circ}}$ . Poi: $\dpi{120} \mathrm{ S_e = 1080^{\circ} - S_i}$ . Una volta $\dpi{120} \mathrm{S_i = 710^{\circ}}$ , poi: $\dpi{120} \mathrm{ S_e = 1080^{\circ} - 720^{\circ} = 360^{\circ} }$ .