Angolo tra due vettori

In matematica o fisica, il vettori sono segmenti dritti con direzione, direzione e lunghezza, che vengono utilizzati per rappresentare grandezze come forza, velocità e accelerazione.

I vettori indicano le traiettorie e possono essere definiti utilizzando un sistema di coordinate (x, y). Considerando il punto (0,0) come origine del segmento, la figura seguente mostra un vettore $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{u}}$ la cui fine è il punto $\dpi{120} \boldsymbol{ $x_1, y_1$}$ .

Notazione: $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{u}= $x_1, y_1$}$ .

l'ordinato $\dpi{120} \boldsymbol{x_1}$ si chiama componente orizzontale e ascissa $\dpi{120} \boldsymbol{y_1}$ , di componente verticale.

Consideriamo ora, oltre al vettore $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{u}= $x_1, y_1$}$ , un altro vettore $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{v}= $x_2, y_2$}$ e un angolo formato tra di loro, come mostrato nella figura sottostante.

Questo angolo tra i vettori può essere calcolato con una formula che implica il prodotto scalare tra i vettori e la norma (lunghezza) di ciascun vettore.

Angolo tra due vettori

Due dadi vettoriali $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{u}= $x_1, y_1$}$ e $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{v}= $x_2, y_2$}$ , il coseno dell'angolo $\dpi{120} \boldsymbol{\theta}$ tra questi è correlato al prodotto interno tra i vettori e i loro standard come segue:

$\dpi{120} \boldsymbol{cos\, \theta = \frac{\left \langle \vec{u}, \vec{v} \right \rangle}{\|\vec{u} \|.\| \vec{v} \| }}$

Il numeratore della frazione è il prodotto interno tra i vettori, dato da:

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$\dpi{120} \boldsymbol{\left \lange \vec{u}, \vec{v} \, \right \rangle = x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2}$

E il denominatore è il prodotto tra gli standard di ciascuno dei vettori, come segue:

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$\dpi{120} \boldsymbol{\|\vec{u}\|= \sqrt{(x_1)^2+ (y_1)^2}}$

$\dpi{120} \boldsymbol{\|\vec{v}\|= \sqrt{(x_2)^2+ (y_2)^2}}$

Effettuando la sostituzione, abbiamo verificato che il formula dell'angolo tra due vettori é:

$\dpi{120} \boldsymbol{cos\, \theta = \frac{x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2}{\sqrt{(x_1)^2+(y_1)^2} \cdot \sqrt{(x_2 ) )^2+(y_2)^2}}}$

Esempio:

Calcola l'angolo tra i vettori $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{u}= $2,4$}$ e $\dpi{120} \boldsymbol{\vec{v}= $5,3$}$ .

Applicando i valori nella formula, dobbiamo:

$\dpi{120} \boldsymbol{cos\, \theta = \frac{2\cdot 5+4\cdot 3}{\sqrt{(2)^2+(4)^2} \cdot \sqrt{(5 )^2+(3)^2}}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{cos\, \theta = \frac{10+12}{\sqrt{4+16} \cdot \sqrt{25+9}}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{cos\, \theta = \frac{22}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{34}}}$

$\dpi{120} \Rightarrow \boldsymbol{\theta = cos^{-1}\left (\frac{22}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{34}} \right ) }$

Usando una calcolatrice o un tavola trigonometrica, possiamo vederlo:

$\dpi{120} \boldsymbol{ \theta = 32,47^{\circ}}$

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