Esercizi su ragione e proporzione

In matematica, quando vogliamo confrontare due grandezze, calcoliamo il quoziente tra le rispettive misure. Questo quoziente si chiama Motivo.

L'uguaglianza tra due ragioni si chiama proporzione e, secondo il rapporto di variazione tra le quantità, si possono avere quantità direttamente o inversamente proporzionali.

Quantità direttamente proporzionali: quando un aumento di uno di essi porta ad un aumento dell'altro, o una riduzione di uno porta a una diminuzione dell'altro.
Quantità indirettamente proporzionali: quando l'aumento dell'uno porta alla riduzione dell'altro, o quando la riduzione dell'uno porta all'aumento dell'altro.

Per saperne di più, dai un'occhiata a elenco di esercizi risolti su rapporto e proporzione, che abbiamo preparato.

Indice

Elenco di esercizi su rapporto e proporzione
Risoluzione della domanda 1
Risoluzione della domanda 2
Risoluzione della domanda 3
Risoluzione della domanda 4
Risoluzione della domanda 5
Risoluzione della domanda 6
Risoluzione della domanda 7
Risoluzione della domanda 8

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Elenco di esercizi su rapporto e proporzione

Domanda 1. Determina il rapporto tra l'area di un quadrato di lati pari a 50 centimetri e un quadrato di lati pari a 1,5 metri. Interpreta il numero ottenuto.

Domanda 2. In un test di matematica con 15 domande, Eduarda ne ha ottenute 12. Qual è stata la prestazione di Eduarda durante il test?

Domanda 3. La distanza tra due città è di 180 chilometri, ma su una mappa questa distanza era rappresentata da 9 cm. Che scala è usata su questa mappa? Interpreta la scala ottenuta.

Domanda 4. Controlla se i motivi sottostanti formano una proporzione:

Il) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{3}{8} \: \mathrm{e }\: \frac{9}{24}$

B) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{2}{5} \: \mathrm{e }\: \frac{18}{25}$

ç) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{150}{50} \: \mathrm{e }\: \frac{12}{4}$

Domanda 5. Determina il valore di $\dpi{100} \bg_white \large x$ in ciascuna delle seguenti proporzioni:

Il) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{x}{7}= \frac{9}{63}$

B) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{8}{32}= \frac{2}{x}$

ç) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{2}{10}= \frac{3}{2x}$

d) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{3,7}{11}= \frac{x}{55}$

e) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{2}{9}= \frac{x + 8}{x + 50}$

Domanda 6. Determina il valore di $\dpi{100} \bg_white \large x$ nella seguente proporzione:

$\dpi{100} \bg_white \large \frac{x}{6} = \frac{24}{x}$

Domanda 7. Per realizzare una ricetta del pane occorrono 3 uova ogni 750 grammi di farina di frumento. Quante uova saranno necessarie per 5 kg di farina.

Domanda 8. Per finire un lavoro, 15 lavoratori impiegano 30 giorni. Quanti giorni hanno impiegato 9 lavoratori per finire questo stesso lavoro?

Risoluzione della domanda 1

Abbiamo un quadrato di lato pari a 50 cm e un quadrato di lato pari a 1,5 m.

Abbiamo bisogno delle misurazioni nella stessa unità. Quindi, trasformiamo 1,5 m in centimetri:

1,5 x 100 cm = 150 cm

Cioè 1,5 m = 150 cm.

Ora calcoliamo il la zona di ciascuno dei quadrati:

IL un'area quadrata è data dalla misura del lato al quadrato:

L = 50 cm ⇒ Area = 2500 cm ²

L = 150 cm ⇒ Area = 22500 cm ²

Pertanto, il rapporto tra l'area del quadrato di lato pari a 50 cm e l'area del quadrato di lato pari a 150 cm è dato da:

$\dpi{100} \bg_white \large Raz\tilde{a}o = \frac{2500}{22500} = \frac{1}{9}$

Interpretazione: L'area del quadrato con un lato pari a 1,5 m è 9 volte l'area del quadrato con un lato pari a 50 cm.

Risoluzione della domanda 2

Calcoliamo il rapporto tra il numero di domande che Eduarda ha risposto correttamente e il numero di domande nel test:

$\dpi{100} \bg_white \large Raz\tilde{a}o = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$

Questo rapporto significa che per ogni 5 domande, Eduarda ha ottenuto 4 giuste e 4/5 = 0,8, quindi l'uso di Eduarda nel test è stato dell'80%.

Risoluzione della domanda 3

La scala è un tipo speciale di rapporto tra la lunghezza nel disegno e la lunghezza effettiva.

Abbiamo:

Distanza sulla mappa = 9 cm

Distanza effettiva = 180 km

Innanzitutto, dobbiamo esprimere entrambe le misure nella stessa unità. Trasformiamo 180 km in centimetri:

180 x 100000 cm = 180 00000 cm

Quindi, 180 km = 180 00000 cm.

Ora calcoliamo la scala:

$\dpi{100} \bg_white \large Scale = \frac{9}{1800000} = \frac{1}{2000000}$

Interpretazione: La scala utilizzata sulla mappa era 1: 2000000, ciò significa che 1 cm sulla mappa corrisponde a 2000000 cm di distanza effettiva.

Risoluzione della domanda 4

Una proporzione è un'uguaglianza tra due rapporti e una delle proprietà di una proporzione è che il prodotto dei termini estremi è uguale al prodotto dei termini medi.

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Quindi, per scoprire se due rapporti formano una proporzione, basta moltiplicare incrociati e verificare se il risultato ottenuto è lo stesso.

Il) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{3}{8} \: \mathrm{e }\: \frac{9}{24}$

3. 24 = 72

9. 8 = 72

Il risultato è lo stesso per entrambi i prodotti, quindi i rapporti formano un rapporto.

B) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{2}{5} \: \mathrm{e }\: \frac{18}{25}$

2. 25 = 50

18. 5 = 90

Il risultato non è lo stesso per entrambi i prodotti, quindi i rapporti non formano un rapporto.

ç) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{150}{50} \: \mathrm{e }\: \frac{12}{4}$

150. 4 = 600

12. 50 = 600

Il risultato è lo stesso per entrambi i prodotti, quindi i rapporti formano un rapporto.

Risoluzione della domanda 5

Per determinare il valore di x, basta moltiplicare la croce e risolvere l'equazione corrispondente.

Il) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{x}{7}= \frac{9}{63}$

$\dpi{100} \bg_white \large 63\cdot x = 7 \cdot 9\Rightarrow 63\cdot x = 63 \Rightarrow x = \frac{63}{63} \Rightarrow x = 1$

B) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{8}{32}= \frac{2}{x}$

$\dpi{100} \bg_white \large 8\cdot x = 2 \cdot 32\Rightarrow 8\cdot x = 64 \Rightarrow x = \frac{64}{8} \Rightarrow x = 8$

ç) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{2}{10}= \frac{3}{2x}$

$\dpi{100} \bg_white \large 2\cdot 2x = 3 \cdot 10\Rightarrow 4\cdot x = 30\Rightarrow x = \frac{30}{4} \Rightarrow x = 7.5$

d) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{3,7}{11}= \frac{x}{55}$

$\dpi{100} \bg_white \large 11\cdot x = 3,7 \cdot55\Rightarrow 11\cdot x = 203,5 \Rightarrow x = \frac{203.5}{11} \Rightarrow x = 18,5$

e) $\dpi{100} \bg_white \large \frac{2}{9}= \frac{x + 8}{x + 50}$

$\dpi{100} \large 2\cdot (x + 50) = 9 \cdot (x + 8)\freccia destra 2x + 100 = 9x + 72x$

$\dpi{100} \bg_white \large \Rightarrow 7x = 28 \Rightarrow x = \frac{28}{7} \Rightarrow x = 4$

Risoluzione della domanda 6

$\dpi{100} \bg_white \large \frac{x}{6} = \frac{24}{x}$

Moltiplicando croce, otteniamo:

$\dpi{100} \bg_white \large x\cdot x = 24 \cdot 6\Rightarrow x^2 = 144\Rightarrow x = \sqrt{144} \Rightarrow x = \pm 12$

Risoluzione della domanda 7

Per prima cosa, scriviamo le due misure della farina nella stessa unità. Trasformiamo 5 kg in grammi:

5 x 1000 grammi = 5000 grammi

Quindi 5 kg = 5000 grammi.

Abbiamo una proporzione con un valore sconosciuto:

3 uova → 750 grammi di farina

x uova → 5000 grammi di farina

cioè

$\dpi{100} \bg_white \large \frac{3}{x} = \frac{750}{5000}$

Moltiplichiamo croce per trovare il valore di x:

$\dpi{100} \bg_white \large 750\cdot x = 3\cdot 5000\Rightarrow 750 \cdot x = 15000\Rightarrow x = \frac{15000}{750} \Rightarrow x = 20$

Quindi, per 5 kg di farina di frumento, saranno necessarie 20 uova.

Risoluzione della domanda 8

Abbiamo una proporzione con un valore sconosciuto:

15 lavoratori → 30 giorni

9 lavoratori → x giorni

Si noti che quando il numero di lavoratori diminuisce, il numero di giorni per completare il lavoro deve aumentare. Quindi, i rapporti sono indirettamente proporzionali e dobbiamo cambiare l'ordine del numeratore e del denominatore di uno di essi:

$\dpi{100} \bg_white \large \frac{15}{9} = \frac{x}{30}$