Costruzione passo passo del grafico della funzione di secondo grado

Alla scuola elementare, funzioni sono formule matematiche che associano ad ogni numero di un insieme numerico (il dominio) un singolo numero appartenente ad un altro insieme (il controdominio). Quando questa formula è a equazione di secondo grado, ne abbiamo uno funzione del liceo.

Le funzioni possono essere rappresentate da figure geometriche le cui definizioni coincidono con le loro formule matematiche. È il caso della retta, che rappresenta funzioni di primo grado, e della parabola, che rappresenta funzioni di secondo grado. Queste figure geometriche sono chiamate grafica.

L'idea centrale della rappresentazione della funzione mediante un grafico

Per grafico una funzione, è necessario valutare quale elemento del controdominio è correlato a ciascun elemento del dominio e contrassegnarli, uno per uno, su un piano cartesiano. Quando tutti questi punti sono contrassegnati, il risultato sarà solo il grafico di una funzione.

È interessante notare che funzioni del liceo, sono solitamente definiti in un dominio uguale all'intero insieme dei numeri reali. Questo insieme è infinito e, quindi, è impossibile segnare tutti i suoi punti su un piano cartesiano. Pertanto, l'alternativa è tracciare un grafico che possa rappresentare in parte la funzione valutata.

Prima di tutto, ricorda che le funzioni di secondo grado assumono la seguente forma:

y = ax² + bx + c

Pertanto, presentiamo cinque passaggi che consentono di costruire un grafico di funzione di secondo grado, esattamente come quelli richiesti al Liceo.

Fase 1 – Valutazione complessiva del lavoro

Ci sono alcuni indicatori che ti aiutano a scoprire se si sta intraprendendo la strada giusta durante la costruzione del grafico delle funzioni delle scuole superiori.

I - Il coefficiente "a" di a funzione del liceo indica la sua concavità, cioè se a > 0, la parabola sarà verso l'alto e avrà un punto di minimo. Se a < 0, la parabola sarà in basso e avrà un punto massimo.

II) Il primo punto A della grafico di una parabola può essere facilmente ottenuto semplicemente osservando il valore del coefficiente “c”. Quindi, A = (0, c). Questo accade quando x = 0. Orologio:

y = ax² + bx + c

y = a·0² + b·0 + c

y = c

Passaggio 2: trova le coordinate del vertice

il vertice di a parabola è il suo punto massimo (se a < 0) o minimo (se a > 0). Si trova sostituendo i valori dei coefficienti "a", "b" e "c" nelle formule:

X_v = - B
2°

sì_v = –∆
4°

Pertanto, il vertice V è dato dai valori numerici di x_v e si_v e si può scrivere così: V = (x_vyy_v).

Passaggio 3 – Punti casuali sul grafico

È sempre bene indicare dei punti casuali i cui valori assegnati alla variabile x sono maggiori e minori di x_v. Questo ti darà punti prima e dopo il vertice e renderà più facile disegnare il grafico.

Passaggio 4 – Se possibile, determinare le radici

Quando esistono, le radici possono (e dovrebbero) essere incluse nella progettazione del grafico di una funzione di secondo grado. Per trovarli, imposta y = 0 per ottenere un'equazione quadratica che può essere risolta con la formula di Bhaskara. ricordati che risolvere un'equazione quadratica equivale a trovare le sue radici.

Non fermarti ora... C'è dell'altro dopo la pubblicità ;)

IL formula bhaskara dipende dalla formula del discriminante. Sono loro:

x = – b ± √∆
2°

= b² – 4ac

Step 5 – Segna tutti i punti ottenuti sul piano cartesiano e collegali tra loro, in modo da costruire una parabola

Ricorda che il piano cartesiano è formato da due rette numeriche perpendicolari. Ciò significa che, oltre a contenere tutti i numeri reali, queste linee formano un angolo di 90°.

Esempio di piano cartesiano ed esempio di parabola.

Esempio

Traccia la funzione di secondo grado y = 2x² – 6x.

Soluzione: Nota che i coefficienti di questa parabola sono a = 2, b = – 6 e c = 0. In questo modo, dal passo 1, possiamo dire che:

1 – La parabola sarà verso l'alto, poiché 2 = a > 0.

2 – Uno dei punti di questa parabola, rappresentato dalla lettera A, è dato dal coefficiente c. Presto, A = (0.0).

al passo 2, osserviamo che il vertice di questa parabola è:

X_v = - B
2°

X_v = – (– 6)
2·2

X_v = 6
4

X_v = 1,5

sì_v = – ∆
4°

sì_v = – (B² – 4·a·c)
4°

sì_v = – ((– 6)² – 4·2·0)
4·2

sì_v = – (36)
8

sì_v = – 36
8

sì_v = – 4,5

Pertanto, le coordinate del vertice sono: V = (1,5, – 4,5)

Usando il passaggio 3, sceglieremo solo due valori per la variabile x, uno maggiore e uno minore di x_v.

Se x = 1,

y = 2x² – 6x

y = 2·1² – 6·1

y = 2,1 - 6

y = 2 - 6

y = – 4

Se x = 2,

y = 2x² – 6x

y = 2·2² – 6·2

y = 2,4 – 12

y = 8 - 12

y = – 4

Quindi i due punti ottenuti sono B = (1, – 4) e C = (2, – 4)

Pelliccia passaggio 4, che non è necessario eseguire se la funzione non ha radici, otteniamo i seguenti risultati:

= b² – 4ac

∆ = (– 6)² – 4·2·0

∆ = (– 6)²

∆ = 36

x = – b ± √∆
2°

x = – (– 6) ± √36
2·2

x = 6 ± 6
4

x' = 12
4

x' = 3

x'' = 6 – 6
4

x'' = 0

Pertanto, i punti ottenuti tramite le radici, considerando che, per ottenere x = 0 e x = 3, era necessario porre y = 0, sono: A = (0, 0) e D = (3, 0).

Con ciò, otteniamo sei punti per disegnare il grafico della funzione y = 2x² – 6x. Ora basta soddisfare il passaggio 5 per costruirlo definitivamente.

Di Luiz Paulo Moreira
Laureato in Matematica