Diciamo che un numero naturale è perfetto se è uguale alla somma di tutti i suoi fattori (divisori), escludendo se stesso. Ad esempio, 6 e 28 sono numeri perfetti, vedi:
6 = 1 + 2 + 3 (fattori di 6: 1, 2, 3 e 6), escludiamo il numero 6.
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 (fattori di 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28), escludiamo il 28.
I numeri di Mersenne sono quelli nella forma Mn = 2n – 1. Pensò persino che questa espressione sarebbe stata in grado di calcolare possibili numeri primi considerando n = numeri primi, ma in seguito si scoprì che aveva quasi ragione. Per esempio:
M1 = 21 – 1 = 1
M2 = 22 – 1 = 3 → n = 2 (cugino), M2 = 3 (cugino)
M3 = 23 – 1 = 7 → n = 3 (cugino), M3 = 7 (cugino)
M4 = 24 – 1 = 15
M5 = 25 – 1 = 31 → n = 5 (cugino), M5 = 31 (cugino)
M6 = 26 – 1 = 63
M7 = 27 – 1 = 127 → n = 7 (cugino), M7 = 127 (cugino)
M8 = 28 – 1 = 255
M9 = 29 – 1 = 511
M10 = 210 – 1 = 1023
M11 = 211 – 1 = 2047 → n = 11 (cugino), M11 = 2047 (non primo)
M13 = 213 – 1 = 8191 → n = 13 (cugino), M13 = 8191 (cugino)
All'interno della sequenza dei numeri primi ci sono elementi che applicati nella formula di Mersenne non generano elementi primi, ad esempio il numero 11, quando applicato alla formula ha prodotto 2047, un numero non number cugino.
La conoscenza dei numeri perfetti è attribuita a Euclide, il famoso matematico greco fondatore della Geometria. Il metodo che usa inizia con 1 che aggiunge potenze di 2 a un numero primo. Un numero perfetto si ottiene quindi moltiplicando la somma per l'ultima potenza di 2.
Notare la relazione tra il numero perfetto ei numeri primi di Mersenne.
di Mark Noah
Laureato in Matematica
Squadra scolastica brasiliana
Insiemi numerici - Matematica - Scuola Brasile
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/mersenne-numeros-primos-numeros-perfeitos.htm