IL L'equazione di 2° grado è caratterizzata per uno polinomio di grado 2, cioè un polinomio di tipo ax2+bx+c, dove Il, B e ç sono numeri reali. Quando risolviamo un'equazione di grado 2, siamo interessati a trovare valori per l'ignoto. X che rende uguale a 0 il valore dell'espressione, che si chiamano radici, cioè ax2 + bx + c = 0.
Leggi anche tu: Differenze tra funzione ed equazione
Tipi di equazioni di secondo grado
L'equazione di 2° grado può essere rappresentato da ax²+bx+c=0, dove i coefficienti Il, B e ç sono numeri reali, con Il ≠ 0.
→ Esempi
a) 2x2 +4x – 6 = 0 → a = 2; b = 4 e c = – 6
b) x2 – 5x + 2 = 0 → a =1; b= – 5 e c = 2
c) 0,5x2 + x –1 = 0 → a = 0,5; b = 1 e c = -1
L'equazione di 2° grado è classificata come completare quando tutti i coefficienti sono diversi da 0, cioè Il ≠ 0, B 0 e ç ≠ 0.
L'equazione di 2° grado è classificata come incompleto quando il valore dei coefficienti B o ç sono uguali a 0, cioè b = 0 o c = 0.
→ Esempi
a) 2x2 – 4 = 0 → a = 2; b = 0 e c = – 4
b) -x2 + 3x = 0 → a = – 1; b = 3 e c = 0
c) x2 = 0 → a = 1; b=0 e c=0
Dritta: il valore del coefficiente Il non è mai uguale a 0, se ciò accade, l'equazione non è più di 2° grado.
Come si risolvono le equazioni di 2° grado?
La soluzione di un'equazione di 2° grado si verifica quando il radici si trovano, cioè i valori assegnati a X. Questi valori di X deve rendere vera l'uguaglianza, cioè sostituendo il valore di X nell'espressione, il risultato deve essere uguale a 0.
→ Esempio
Considerando l'equazione x2 – 1 = 0 abbiamo che x' = 1 e x'' = – 1 sono soluzioni dell'equazione, perché sostituendo questi valori nell'espressione, abbiamo una vera uguaglianza. Guarda:
X2 – 1 = 0
(1)2 – 1 = 0 e (–1)2 – 1 = 0
Per trovare la soluzione di a equazione, è necessario analizzare se l'equazione è completa e incompleta e selezionare quale metodo verrà utilizzato.
Metodo risolutivo per equazioni di tipo ascia²+ c = 0
Il metodo per determinare la soluzione di equazioni incomplete che hanno B=0consiste nell'isolare l'ignoto X, così:
→ Esempio
Trova le radici dell'equazione 3x2 – 27 = 0.
Se vuoi saperne di più su questo metodo, vai su: Equazione incompleta di 2° grado con coefficiente nullo b.
Metodo risolutivo per equazioni di tipo ascia2 + bx = 0
Il metodo per determinare le possibili soluzioni di un'equazione con ç =0, consiste nell'usare il fattorizzazione delle prove. Guarda:
ascia2 + bx = 0
x·(ax + b) = 0
Guardando l'ultima uguaglianza, si nota che c'è una moltiplicazione e che perché il risultato sia 0, è necessario che almeno uno dei fattori sia uguale a 0.
x·(ax + b) = 0
x = 0 o ax + b = 0
La soluzione dell'equazione è quindi data da:
→ Esempio
Determinare la soluzione dell'equazione 5x2 – 45x = 0
Se vuoi saperne di più su questo metodo, vai su: Equazione di 2° grado incompleta con coefficiente nullo c.
Metodo risolutivo per equazioni complete
Il metodo noto come Metodo Bhaskara o Formula Bhaskara fa notare che le radici di un'equazione di 2° grado di tipo ax2 + bx + c = 0 è dato dalla seguente relazione:
→ Esempio
Determinare la soluzione dell'equazione X2 – x – 12 = 0.
Si noti che i coefficienti nell'equazione sono: a = 1; B= – 1 e ç = – 12. Sostituendo questi valori nella formula di Bhaskara, abbiamo:
Il delta (Δ) prende il nome da discriminante e nota che è dentro a radice quadrata e, come sappiamo, tenendo conto dei numeri reali, non è possibile estrarre la radice quadrata di un numero negativo.
Conoscendo il valore del discriminante, possiamo fare alcune affermazioni sulla soluzione dell'equazione di 2° grado:
→ discriminante positivo (Δ > 0): due soluzioni dell'equazione;
→ discriminante uguale a zero (Δ = 0): si ripetono le soluzioni dell'equazione;
→ discriminante negativo (Δ < 0): non ammette soluzione reale.
Sistemi di equazioni di secondo grado
Quando consideriamo contemporaneamente due o più equazioni, abbiamo a sistema di equazioni. La soluzione di un sistema a 2 variabili è la insieme di coppie ordinate che soddisfa simultaneamente tutte le equazioni coinvolte.
→ Esempio
Considera il sistema:
Con i valori: x' = 2, x'' = – 2 e y' = 2, y'' = – 2 possiamo assemblare coppie ordinate che soddisfano contemporaneamente le equazioni del sistema. Vedi: (2, 2), (2, – 2), (– 2, 2), (– 2, – 2).
Ricordiamo che si scrive una coppia ordinata della forma (x, y).
I metodi per trovare la soluzione di un sistema di equazioni sono simili a quello di sistemi lineari.
→ Esempio
Considera il sistema:
Dall'equazione x – y = 0, isoliamo l'incognita X, così:
x - y = 0
x = y
Ora dobbiamo sostituire il valore isolato nell'altra equazione, in questo modo:
X2 – x –12 = 0
sì2 – y –12 = 0
Usando il metodo di Bhaskara, dobbiamo:
Poiché x = y, avremo x' = y' e x'' = y''. cioè:
x' = 4
x'' = -3
Quindi, le coppie ordinate sono soluzioni del sistema (4, 4) e (– 3,– 3).
leggi di più: Sistema di equazioni di 1° e 2° grado
esercizi risolti
domanda 1 – (ESPM -SP) Le soluzioni dell'equazione di seguito sono due numeri
a) cugini.
b) positivo.
c) negativo.
d) coppie.
e) dispari.
Soluzione
Sappiamo che i denominatori di una frazione non possono essere uguali a zero, quindi x 1 e x≠3. E poiché abbiamo un'uguaglianza di frazioni, possiamo moltiplicare per incrocio, ottenendo:
(x+3) · (x+3) = (x – 1) · (3x +1)
X2 + 6x +9 = 3x2 – 2x – 1
X2 – 3x2 + 6x + 2x +9 +1 = 0
(– 1) – 2x2 + 8x +10 = 0 (– 1)
2x2 – 8x – 10 = 0
Dividendo entrambi i membri dell'equazione per 2, abbiamo:
X2 – 4x – 5 = 0
Usando la formula di Bhaskara segue che:
Nota che le radici dell'equazione sono numeri dispari.
Alternativa e.
Domanda 2 – (UFPI) Un allevatore di pollame ha scoperto che dopo aver collocato (n +2) uccelli in ciascuna delle n voliere disponibili, ne sarebbe rimasto solo un uccello. Il numero totale di uccelli, per qualsiasi valore naturale di n, è sempre
a) un numero pari.
b) un numero dispari.
c) un quadrato perfetto.
d) un numero divisibile per 3.
e) un numero primo.
Soluzione
Il numero di uccelli può essere trovato moltiplicando il numero di voliere per il numero di uccelli collocati in ciascuna. di loro, dalla dichiarazione dell'esercizio dopo aver fatto questo processo c'è ancora un uccello rimasto, possiamo scrivere tutto questo nel seguente maniera:
n·(n+2) +1
Eseguendo la distributività otterremo:
no2 + 2n +1
E fattorizzando questo polinomio segue che:
(n+1)2
Quindi, il numero totale di uccelli è sempre un quadrato perfetto per qualsiasi numero naturale n.
Do alternativo
di Robson Luiz
Insegnante di matematica
Fonte: Scuola Brasile - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-2-grau.htm