Cosa sono i numeri complessi?

Fino alla metà del XVI secolo, equazioni come x² – 6x + 10 = 0 sono stati semplicemente considerati “nessuna soluzione”. Questo perché, secondo la formula di Bhaskara, risolvendo questa equazione, il risultato trovato sarebbe:

Δ = (–6)² – 4·1·10
Δ = 36 – 40
Δ = – 4

x = –(– 6) ± √– 4
2·1

x = 6 ± √– 4
2

Il problema è stato trovato in √–4, che non ha soluzione all'interno dell'insieme dei numeri reali, cioè no esiste un numero reale che, moltiplicato per se stesso, dà √– 4, poiché 2·2 = 4 e (–2)(–2) = 4.

Nel 1572, Rafael Bombelli era impegnato a risolvere l'equazione x³ – 15x – 4 = 0 usando la formula di Cardano. Attraverso questa formula, si conclude che questa equazione non ha radici reali, poiché risulta necessario calcolare √– 121. Tuttavia, dopo alcuni tentativi, è possibile trovare che 4³ – 15·4 – 4 = 0 e quindi che x = 4 è una radice di questa equazione.

Considerando l'esistenza di vere radici non espresse dalla formula di Cardano, Bombelli ebbe l'idea di supporre che √– 121 risulterebbe in √(– 11·11) = 11·√– 1 e questa potrebbe essere una radice "irreale" per l'equazione studiato. Quindi, √–121 farebbe parte di un nuovo tipo di numero che costituisce le altre radici non trovate di questa equazione. Quindi l'equazione x

³ – 15x – 4 = 0, che ha tre radici, avrebbe x = 4 come radice reale e altre due radici appartenenti a questo nuovo tipo di numero.

Alla fine del XVIII secolo, Gauss chiamò questi numeri come numeri complessi. A quel tempo, i numeri complessi stavano già prendendo la forma a + bi, con io = √– 1. Inoltre, Il e B erano già considerati punti di un piano cartesiano, noto come piano di Argand-Gauss. Quindi, il numero complesso Z = a + bi aveva come rappresentazione geometrica un punto P (a, b) del piano cartesiano.

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Pertanto, l'espressione "numeri complessi” ha iniziato ad essere utilizzato in riferimento all'insieme numerico i cui rappresentanti sono: Z = a + bi, con i = √– 1 e con Il e B appartenente all'insieme dei numeri reali. Questa rappresentazione è chiamata forma algebrica del numero complesso Z.

Poiché i numeri complessi sono formati da due numeri reali e uno di essi viene moltiplicato per √– 1, a questi numeri reali è stato dato un nome speciale. Considerando il numero complesso Z = a + bi, a è la "parte reale di Z" e b è la "parte immaginaria di Z". Matematicamente, possiamo scrivere, rispettivamente: Re (Z) = a e Im (Z) = b.

L'idea di modulo di un numero complesso si cristallizza analogamente all'idea di modulo di un numero reale. Considerando il punto P(a, b) come rappresentazione geometrica del numero complesso Z = a + bi, la distanza tra il punto P e il punto (0,0) è data da:

|Z| = √(Il² + b²)

Un secondo modo per rappresentare i numeri complessi è attraverso il Forma polare o trigonometrica. Questa forma utilizza il modulo di un numero complesso nella sua costituzione. Il numero complesso Z, algebricamente Z = a + bi, può essere rappresentato con la forma polare da:

Z = |Z|·(cosθ + icosθ)

È interessante notare che il piano cartesiano è definito da due linee ortogonali, note come assi x e y. Sappiamo che i numeri reali possono essere rappresentati da una linea, sulla quale sono posti tutti i numeri razionali. Gli spazi rimanenti sono riempiti con i numeri irrazionali. Considerando che i numeri reali sono tutti sulla linea nota come asse X dal piano cartesiano, tutti gli altri punti appartenenti a quel piano sarebbero la differenza tra numeri complessi e numeri reali. Quindi, l'insieme dei numeri reali è contenuto nell'insieme dei numeri complessi.

Di Luiz Paulo Moreira
Laureato in Matematica

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SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Cosa sono i numeri complessi?"; Brasile Scuola. Disponibile in: https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-numeros-complexos.htm. Consultato il 27 giugno 2021.