Logaritmo è uno strumento molto importante non solo per l'area di matematica, poiché trova applicazione in diversi campi della scienza, come la geografia, la chimica e l'informatica.
Storicamente il logaritmo nasce per facilitare i conti che è apparso frequentemente in diverse aree scientifiche. John Napier fu un pioniere negli studi sui logaritmi, e riuscì a sviluppare l'operazione capace di trasformare prodotti nel somma, divisioni in sottrazioni e potenze nelle moltiplicazioni.
Definire questa operazione, nel tempo, altri matematici formalizzarono definizioni e proprietà, inoltre, il noto tabella di registro.
Definizione del logaritmo
Disegna il grafico della funzione logaritmica (a destra) e il suo inverso esponenziale (a sinistra).
considera due numeri reali positivo Il e B, con a 0. il logaritmo di B alla base Il è il numero X se e solo se, Il elevato a X è uguale al numero B.
Nomenclatura:
la → base
b → logaritmo
x → logaritmo
Guarda gli esempi:
Quando un logaritmo ha base uguale a 10, si chiama
logaritmo decimale. Quando si registra un log decimale, non è necessario scrivere in base 10. Si conviene che:
Leggi anche tu: Sistema logaritmo decimale
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Come calcolare un logaritmo?
Per calcolare un logaritmo, dobbiamo cercare a numero che, quando eleviamo la base, risulta nel logaritmo. Prendendo come esempio il logaritmo di 36 in base 6 nell'esempio precedente, dovremmo trovare un numero che, quando eleviamo la base 6, risulta 36. come 62 = 36, con risposta 2. Diamo un'occhiata ad altri esempi:
1) Registra 1000. Per calcolare questo logaritmo dobbiamo trovare un numero che, elevato a 10, sia uguale a 1000, cioè 10X = 1000.
Risolvendo l'equazione esponenziale, abbiamo:
10X=1000
10X = 103
x = 3
Perciò,
1. Calcola il logaritmo:
Dobbiamo trovare un numero che, alla radice di 7, sia uguale a quarantanovesimi. Risolvendo l'equazione abbiamo:
leggi di più: Equazione esponenziale - equazione con incognita nell'esponente
Condizione di esistenza del logaritmo
Considera il seguente logaritmo:
L'espressione è definita solo per quando la base è maggiore di zero e diversa da uno e quando la base è maggiore di zero, ovvero:
a > 0 e a 0
b > 0
Proprietà dei logaritmi
Vedi i principali di seguito. proprietà dei logaritmi. Tutti i logaritmi qui citati soddisfano la condizione di esistenza.
Proprietà 1
Il logaritmo del prodotto di due fattori è uguale alla somma dei logaritmi di questi fattori.
Proprietà 2
Il logaritmo del quoziente tra due numeri è uguale alla differenza dei logaritmi di quei numeri.
Proprietà 3
Il logaritmo di una potenza equivale a moltiplicare l'esponente di quella potenza per il logaritmo della base della potenza, dove manteniamo la base del logaritmo.
Proprietà 4
Il logaritmo di una radice è uguale all'inverso dell'indice della radice moltiplicato per il logaritmo, dove manteniamo anche la base.
Proprietà 5
Il logaritmo di un numero, in una base elevata a potenza, è uguale alla moltiplicazione dell'inverso dell'esponente di quella base.
Per saperne di più: Applicazioni delogaritmi: vedi esempi
Esercizi risolti
domanda 1 - (Fuvest - SP) Se x5 = 1000 e b3 = 100, quindi il logaritmo di x in base b è:
A) 0,5
B) 0.9
C) 1.2
D) 1.5
E) 2.0
Soluzione
Poiché i numeri 1000 e 100 possono essere scritti in base 10, abbiamo:
Sostituendo il logaritmo di x in base b e applicando la definizione, abbiamo:
Domanda 2 - (Enem) Il potenziale idrogeno (pH) di una soluzione è definito come l'indice che indica la sua acidità, neutralità o alcalinità. Si trova come segue:
essere H+ la concentrazione di ioni idrogeno in quella soluzione. Il pH di una soluzione, dove H+ = 1,0 ·10-9, é:
Soluzione:
Sostituzione del valore H+ nella formula del pH abbiamo:
di L.do Robson Luiz
Insegnante di matematica
