Disuguaglianze logaritmiche. Risolvere le disuguaglianze logaritmiche

A disuguaglianze logaritmiche sono tutti quelli che presentano logaritmi. L'ignoto, in questi casi, è nel logaritmo e/o nel base. Ricorda quello logaritmo ha il seguente formato:

log_Il b = x ↔ a^X = b,

*Il e il base del logaritmo;B è il logaritmo e X è il logaritmo.

Per risolvere le disuguaglianze logaritmiche, applichiamo il proprietà operative dei logaritmi e i concetti tradizionali di risoluzione delle disuguaglianze. Proprio come facciamo con le equazioni logaritmiche, è importante verificare le condizioni di esistenza dei logaritmi (sia la base che il logaritmo devono essere maggiori di zero).

Sviluppando le disuguaglianze logaritmiche, possiamo ottenere due situazioni:

1°) Disuguaglianza tra logaritmi sulla stessa base:

log_Il b < log_Il ç

Qui abbiamo due casi da analizzare: se la base è maggiore di 1 (a > 1), possiamo ignorare il logaritmo e mantenere la disuguaglianza tra i logaritmi, ovvero:

Se un > 1 allora log_Il b < log_Il c ↔ b < c

Se, d'altra parte, la base è un numero compreso tra 0 e 1 (0 > a > 1)

, quando si risolve la disuguaglianza logaritmica, dobbiamo disuguaglianza inversa e stabilire una disuguaglianza tra i logaritmi, ovvero:

Se 0 > a > 1, allora log_Il b < log_Il c ↔ b > c

2°) Disuguaglianza tra un logaritmo e un numero reale:

log_Il b < x

Se, risolvendo una disuguaglianza logaritmica, ci imbattiamo in una disuguaglianza tra un logaritmo e un numero reale, possiamo applicare la proprietà di base del logaritmo, mantenendo il simbolo della disuguaglianza:

log_Il b < x ↔ b < a^X

o

log_Il b > x ↔ b > a^X

Diamo un'occhiata ad alcuni esempi di risoluzione di disuguaglianze logaritmiche:

Esempio 1: log₅ (2x - 3) < log₅ X

Dobbiamo verificare le condizioni di esistenza dei logaritmi:

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2x – 3 > 0 2x > 3 x > ^3/2

x > 0

Abbiamo una disuguaglianza tra logaritmi della stessa base che è più grande di 1. Possiamo quindi mantenere la disuguaglianza solo tra i logaritmi:

log₅ (2x - 3) < log₅ X
2x – 3
2x - x < 3
x < 3

Esempio 1 grafico di risoluzione

In questo caso la soluzione è

.

Esempio 2: log₂ (x + 3) ≥ 3

Innanzitutto, controlliamo la condizione di esistenza del logaritmo:

x + 3 > 0
x > – 3

In questo caso, c'è una disuguaglianza tra un logaritmo e un numero reale. Possiamo risolvere il logaritmo in modo convenzionale, mantenendo la disuguaglianza:

log₂ (x + 3) ≥ 3
x + 3≥ 2³ 
x + 3≥ 8
x≥ 8 - 3
x≥ 5 

Esempio 2 grafico di risoluzione

La soluzione è .

Esempio 3: log_1/2 3x > log_1/2 (2x + 5)

Verificando le condizioni di esistenza dei logaritmi, si ha:

3x > 0 x > 0

2x + 5 > 0 2x > – 5 ​x > ^– 5/2

In questo esempio, c'è una disuguaglianza tra logaritmi della stessa base che è più piccolo di1. Per risolverlo, dobbiamo invertire la disuguaglianza, applicandola tra i logaritmi:

log_1/2 3x > log_1/2 (2x + 5)
3x < 2x + 5
3x - 2x < 5
x < 5

Esempio 3 grafico di risoluzione

In questo caso la soluzione è ​.

di Amanda Gonçalves
Laureato in Matematica

Vorresti fare riferimento a questo testo in un lavoro scolastico o accademico? Guarda:

RIBEIRO, Amanda Goncalves. "Disuguaglianze logaritmiche"; Scuola Brasile. Disponibile in: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/inequacoes-logaritmicas.htm. Consultato il 28 giugno 2021.

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