Funzione di 2° grado o funzione quadratica

IL Funzione di 2° grado o funzione quadratica è occupazione dominio reale, ovvero any numero reale può essere il X e, ad ogni numero reale x, associamo un numero della forma ax² + bx + c.

In altre parole, la funzione quadratica f è definita da:

Vedremo, di seguito, come calcolare questo tipo di funzione, ricordando la formula di Bhaskara per trovare le radici della funzione, oltre a conoscere il tipo di grafico, i suoi elementi e come disegnarlo in base all'interpretazione dei dati ottenuti dal soluzione.

La funzione quadratica forma una parabola su un piano cartesiano.

Che cos'è una funzione di 2° grado?

Una funzione f: R à → è detta funzione di 2° grado o funzione quadratica quando esiste a, b, c € R con a 0, per cui f(x) = ax² + bx + c, per tutti x € R.

Esempi:

• f (x) = 6x² - 4x + 5 → Il = 6; B = -4; ç = 5.
• f(x) = x² - 9 → Il = 1; B = 0; ç = -9.
• f (x) = 3x² +3x → Il = 3; B = 3; ç = 0.
• f(x) = x² – x → Il = 1; B = -1; ç = 0.

per ogni numero reale X, dobbiamo sostituire ed eseguire le operazioni necessarie per trova la tua foto. Vedere il seguente esempio:

Determiniamo l'immagine del numero reale -2 della funzione f(x) = 6x² - 4x + 5. Per fare ciò, basta sostituire il numero reale fornito nella funzione, in questo modo:

f(-2) = 6(-2)² – 4(-2) +5

f (-2) = 6(4) + 8 +5

f (-2) = 24 + 8 + 5

f(-2) = 37

Quindi, l'immagine del numero -2 è 27, risultando nella coppia ordinata (-2; 37).

Leggi anche tu: Equazione di 2° grado: l'equazione che ha esponente 2 incognita

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Grafico della funzione quadratica

Quando si disegna il grafico della funzione quadratica, abbiamo trovato una curva, che chiameremo parabola. Il tuo la concavità dipende dal coefficienteIl di funzione f. Quando la funzione ha il coefficiente Il maggiore di 0, la parabola sarà concava verso l'alto; quando il coefficiente Il è minore di 0, la parabola sarà concava verso il basso.

Radici della funzione quadratica

Le radici di una funzione quadratica forniscono i punti di intersezione del grafico della funzione con gli assi della funzione. piano cartesiano. Quando consideriamo una funzione quadratica della forma y = ax² + bx + c e prendiamo inizialmente il x = 0, troviamo l'intersezione con l'asse O_sì. Ora se prendiamo il y = 0, troviamo l'intersezione con l'asse O_X,cioè, le radici dell'equazione forniscono l'intersezione con l'asse X. Vedi un esempio:

a) y = x² – 4x

Prendiamo x = 0 e sostituiamolo nella funzione data. Quindi, y = 0² – 4 (0) = 0. Nota che quando x = 0, abbiamo y = 0. Quindi abbiamo la seguente coppia ordinata (0, 0). Questa coppia ordinata fornisce l'intercetta y. Ora, prendendo y = 0 e sostituendo nella funzione, otterremo quanto segue:

X² – 4x = 0

x.(x - 4) = 0

x' = 0

x''-4 = 0

x'' = 4

Abbiamo quindi due punti di intersezione (0, 0) e (4, 0) e, nel piano cartesiano, abbiamo:

Renditi conto che possiamo usare la relazione di bhaskara per trovare gli zeri della funzione. Con questo, otteniamo uno strumento molto importante: guardando il discriminante, possiamo sapere in quanti punti il ​​grafico interseca l'asse X.

• Se il delta è maggiore di zero (positivo), il grafico "taglia" l'asse x in due punti, cioè abbiamo x' e x''.
• Se il delta è uguale a zero, il grafico "taglia" l'asse x in un punto, cioè x' = x''.
• Se il delta è minore di zero (negativo), il grafico non "taglia" l'asse x poiché non ci sono radici.

esercizi risolti

Domanda 1 - Data la funzione f (x) = -x² + 2x – 4. Determinare:

a) L'intersezione con l'asse O_Y.

b) L'intersezione con l'asse O_X.

c) Disegna il grafico della funzione.

Soluzione:

a) Per determinare l'intersezione con l'asse O_sì , prendi il valore di x =

b) 0. -(0)² +2(0) – 4

0 + 0 – 4

-4

Quindi abbiamo la coppia ordinata (0, -4).

c) Trovare l'intersezione con l'asse O_X, prendi semplicemente il valore di y = 0. Così:

-X² +2x – 4 = 0

Usando il metodo di Bhaskara, dobbiamo:

= b² - 4ac

Δ = (2)² - 4(-1)(-4)

Δ = 4 - 16

Δ = -12

Poiché il valore del discriminante è minore di zero, la funzione non interseca l'asse X.

d) Per tracciare il grafico, dobbiamo guardare i punti di intersezione e analizzare la concavità della parabola. Poiché a < 0, la parabola sarà concava verso il basso. Così:

di Robson Luiz
Insegnante di matematica

Calcola il valore di k tale che la funzione f(x) = 4x² – 4x – k non ha radici, cioè il grafico della parabola non ha punti in comune con l'asse x.

Determina i valori di m in modo che la funzione f (x) = (m – 2)x² – 2x + 6 abbia radici reali.